Antwort mit KI erzeugt
Lösungsansatz:
Zur Lösung dieser Aufgabe nutzen wir den Erhaltungssatz des Impulses für die Berechnung der neuen Geschwindigkeit der Raumsonde nach dem "Swing-by"-Manöver. Das Impulserhaltungsgesetz besagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems vor und nach einer Wechselwirkung konstant bleibt, solange keine externen Kräfte wirken.
Da der Jupiter wesentlich massiver ist als die Raumsonde (m1 << MJ), können wir annehmen, dass sich der Impuls und somit die Geschwindigkeit des Jupiters durch das Manöver nicht merklich ändert. Diese Näherung ermöglicht es uns, das Problem erheblich zu vereinfachen.
Schritt 1: Umrechnung der Geschwindigkeiten
Zunächst müssen wir die Anfangsgeschwindigkeit der Raumsonde \(v_1\) und die Geschwindigkeit des Jupiters \(v_2\) relativ zueinander berechnen. Dies ist notwendig, um die Geschwindigkeit der Sonde im Bezugssystem, das sich mit Jupiter bewegt, zu ermitteln.
Die Geschwindigkeit der Sonde relativ zu Jupiter in deren gemeinsamer Bewegungsebene (vor der Auslenkung von 30°) ergibt sich aus der Vektoraddition der beiden Geschwindigkeiten.
Angenommen, die x-Achse ist die Richtung der Bewegung des Jupiters und die y-Achse die ursprüngliche Richtung der Raumsonde:
\(v_{\text{rel,x}} = v_2 - v_1 \cdot \cos(45°)\)
\(v_{\text{rel,y}} = v_1 \cdot \sin(45°)\)
Mit \(v_1 = 10,0 \, \text{km/s}\) und \(v_2 = 13,6 \, \text{km/s}\), berechnen wir:
\(v_{\text{rel,x}} = 13,6 \, \text{km/s} - 10,0 \, \text{km/s} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 6,69 \, \text{km/s}\)
\(v_{\text{rel,y}} = 10,0 \, \text{km/s} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7,07 \, \text{km/s}\)
Schritt 2: Berechnung der relativen Geschwindigkeit nach der 90° Kurve
Nach dem Manöver hat sich die Richtung der y-Komponente der relativen Geschwindigkeit umgekehrt, bleibt aber betragsmäßig gleich (aufgrund der Annahme ohne Energieverlust):
\(v_{\text{rel,y}}' = - v_{\text{rel,y}}\)
Die x-Komponente bleibt unverändert:
\(v_{\text{rel,x}}' = v_{\text{rel,x}}\)
Schritt 3: Berechnung der Geschwindigkeit nach der Auslenkung um 30° aus der Ebene
Die Geschwindigkeit nach dem Manöver im dreidimensionalen Raum setzt sich aus der Komponente in der Ebene (\(v_{\text{rel}}'\)) und der Komponente aus der Ebene (\(v_{\text{out}}\)) zusammen:
\(v_{\text{final}} = \sqrt{{v_{\text{rel}}'}^2 + v_{\text{out}}^2}\)
Die Winkelangabe von 30° aus der ursprünglichen Ebene bedeutet, dass die Geschwindigkeit aus der Ebene \(v_{\text{out}}\) so gewählt werden muss, dass der resultierende Vektor mit der in-Ebene-Komponente \(v_{\text{rel}}'\) einen Winkel von 30° bildet.
Die resultierende relative Geschwindigkeit der Raumsonde in der Ebene nach der 90° Kurve ist:
\(v_{\text{rel}}' = \sqrt{{v_{\text{rel,x}}'}^2 + {v_{\text{rel,y}}'}^2}\)
Wir setzen die bekannten Werte ein:
\(v_{\text{rel}}' = \sqrt{(6,69)^2 + (-7,07)^2} \, \text{km/s} \approx 9,75 \, \text{km/s}\)
Da \(v_{\text{out}} = v_{\text{rel}}' \cdot \tan(30°)\), ergibt sich:
\(v_{\text{final}} = \sqrt{{v_{\text{rel}}'}^2 + (v_{\text{rel}}' \cdot \tan(30°))^2}\)
Das Einsetzen der Werte führt zu:
\(v_{\text{final}} = v_{\text{rel}}' \cdot \sqrt{1 + \tan^2(30°)} \approx 9,75 \, \text{km/s} \cdot \sqrt{1 + (\sqrt{1/3})^2} \approx 11,25 \, \text{km/s}\)
Ergebnis:
Die Raumsonde fliegt nach dem Swing-by-Manöver mit einer Geschwindigkeit von ungefähr \(11,25 \, \text{km/s}\).
