Beweisen, dass diese Bewegung durch folgende Funktion x(t)= v0 t(1-e hoch -t durch r

Question

hallo, kann mir jemand mit Aufgabe a helfen. Danke für alle die helfen wollen.

Aufgabenstellung:

Ein bakterium, das im wesentlichen aus Wasser besteht,wird einer Kugel mit dem Radius r assimiliert.

Wenn sich das bakterium in einem wässrigen Medium mit einer Geschwindigkeit v entlang einer Achse bewegt, dann werden Reibungskräfte F darauf ausgeübt (F= -6π r η v). Die Parameter hängen sowohl von der Flüssigkeit als auch von den Bakterien ab.

Viskositätskoeffizient der Flüssigkeit: η= 1× 10 Hoch -3 kg/m • s

Geschwindigkeit bei null : v 0 =v(t=0)= 25μm/s

Radius: 1μm

Wasserdichte: ρ= 1 kg/ l

Aufgabe a)= beweisen sie mit mit hilfe newtoons zweites gesetzt und unter Berücksichtigung der Bewegung der Bakterien entlang der x Achse und der Reibungskräfte, dass diese Bewegung durch folgende Funktion x(t)= v0 t(1-e hoch -t durch r

Hier nochmal die Aufgabe falls ich es falsch geschrieben hatte, Hilfe bei b würde ich auch gebrauchen 

Answer 1

Hallo

Kraft=Masse*Beschleunigung also m*a=m*x'' und die Kraft ist gegeben

also mx''= -6π r η v und v=x',  x''=v'

m=4π/3*r^3*ρ

also hast du die Dgl v'=-18η/(4r^2*ρ)*v

mit der  allgemeinen Lösung v(t)=v0*exp(-18η/(4r^2*ρ)*t), x(t) durch Integration.

da eine Lösung gegeben ist, die wenn ich sie richtig lese

x(t)=v0*t(1-exp(-t/r)) ist musst du einfach 2 mal differenzieren,und keine Differentialgleichung lösen. Allerdings denke ich du hast falsch abgeschrieben, in der Exponentialfunktion müsste etwas wie -c*t/r^2 stehen.

denn exp(-t/r) ist kein möglicher Ausdruck, der Exponent hat die Dimension Zeit durch Länge in einer e Funktion kann man aber nur Zahlen einsetzen.

also überprüfe die angegebene Lösung noch mal. warum all die Größen angegeben sind, ist auch unklar, wenn die im Ergebnis nicht benutzt werden.

Gruß ledum

Comments

Das Bild ist für die Gleichung kaum zu lesen, kann es sein dass da v0*T oder v0*τ vorne steht, und im Exponenten nicht -t/r sondern t/τ das Ding unter t wäre dann τ=tau und das ganze verständlich  , denn τ hat auch die Dimension einer Zeit, kannst du x(t) 2 mal ableiten? wenn da ein tau steht ist die Ableitung einfach, und nachdem was ich dir aufgeschrieben habe ist

1/τ=18η/(4r2*ρ) und die Lösung stimmt.

zu b)v0 ist die Steigung der Kurve bei x=0 in μm/μs=m/s

dann musst du nur noch τ aus der Graphik ablesen. einen beliebigen Punkt t zB t=0,4μs und x(0.4μs)=4,8μm

  einsetzen und bei bekanntem v0 daraus τ bestimmen, oder 2 verschiedene Punkte einsetzen und daraus v0 und τ

man sieht dass die Kurve etwa gegen die Gerade x=6,5 läuft, wenn t sehr groß wird  wird die Exponentialfunktion 0 also hat man nur noch v0*τ etwa=6,5μm das zur Kontrolle.