Konfiguration und Therme (Orbitale)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten ein Atom, im dem sich zwei Elektronen in den p-Orbitalen befinden. Alle anderen Orbitale seien leer oder komplett gefüllt. Im ersten Fall gehören die Orbitale zur gleichen Hauptquantenzahl (np)2 (durchgezogene Linien im Diagramm). Im zweiten Fall zu unterschiedlichen (np)1(n'p)1 (durchgezogene und gestrichelte Linien).

a) Warum sind im ersten Fall weniger Zustände möglich?

b) Erläutern Sie über die Regel der Addition von Drehimpulsen die auftretenden Zustände.

c) Erläutern Sie für die Konfigurationen np2 und (np)1(n´p)1 den energetisch tiefsten Term nach den Hundschen Regeln-

Answer 1

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a) Warum sind im ersten Fall weniger Zustände möglich?

Im ersten Fall, wo beide Elektronen sich im selben p-Orbital, also beim $(np)^2$ Zustand, befinden, sind weniger Zustände möglich, weil das Pauli-Ausschlussprinzip gilt. Dieses Prinzip besagt, dass keine zwei Elektronen in einem Atom die gleichen vier Quantenzahlen haben können. Da die beiden Elektronen im gleichen Orbital sind, müssen sie sich in der Spinquantenzahl unterscheiden, was die Anzahl der möglichen Konfigurationen im Vergleich zum zweiten Fall einschränkt, wo die Elektronen sich in verschiedenen p-Orbitalen befinden ($(np)^1(n'p)^1$) und damit mehr Kombinationsmöglichkeiten hinsichtlich der Quantenzahlen haben.

b) Erläutern Sie über die Regel der Addition von Drehimpulsen die auftretenden Zustände.

Die Regel der Addition von Drehimpulsen ermöglicht die Bestimmung der möglichen Gesamtdrehimpulse aus den einzelnen Bahndrehimpulsen ($l$) und Spindrehimpulsen ($s$) der Elektronen. Für p-Orbitale ist $l = 1$, und für Elektronen ist $s = \pm\frac{1}{2}$.

- Im Fall von $(np)^2$, wo beide Elektronen sich im selben Orbital befinden, können die Elektronenspins entweder parallel ($S = 1$) oder antiparallel ($S = 0$) sein. Die Gesamtdrehimpulse ($L$) der Bahnbewegung können die Werte 0, 1 oder 2 annehmen (da $l = 1$ für jedes Elektron und die möglichen Werte von $L$ sind $|l_1 - l_2|$ bis $l_1 + l_2$, wobei in diesem Fall $l_1 = l_2 = 1$). Jedoch, durch das Pauli-Prinzip und die Coulomb-Abstoßung, sind bestimmte Konfigurationen begrenzt, was zu einer kleineren Anzahl von Zuständen führt.

- Im Fall von $(np)^1(n'p)^1$, wo sich die Elektronen in verschiedenen p-Orbitalen befinden, können die Elektronen unabhängig voneinander agieren, was zu einer größeren Vielfalt von $L$ und $S$ Kombinationen führt. Hier können die Drehimpulse unabhängig addiert werden, und es gibt keine Einschränkung durch das Pauli-Prinzip in Bezug auf die Orbitalbesetzung, was zu mehr möglichen Zuständen führt.

c) Erläutern Sie für die Konfigurationen np² und (np)¹(n´p)¹ den energetisch tiefsten Term nach den Hundschen Regeln

Die Hundschen Regeln beschreiben, wie man den Grundzustand eines Atoms oder Ions bestimmt.

- Für $(np)^2$:
1. Die erste Hundsche Regel sagt aus, dass der Zustand mit der höchsten Gesamtspinquantenzahl ($S$) energetisch am günstigsten ist. Dies bedeutet, dass die Spins der Elektronen parallel sein sollten ($S = 1$).
2. Die zweite Hundsche Regel besagt, dass unter Zuständen mit demselben $S$, der Zustand mit dem höchsten Gesamtbahndrehimpuls ($L$) bevorzugt wird. Da beide Elektronen sich in demselben p-Orbital befinden, ist der maximale $L$-Wert durch ihre antiparallele Anordnung limitiert, und $L$ wird kleiner sein als in Fällen, wo Elektronen in verschiedenen Orbitalen sind.
3. Die niedrigste Energie gehört also zu einem Triplett-Zustand ($^3L$) mit dem höchsten möglichen $L$-Wert.

- Für $(np)^1(n'p)^1$:
1. Laut der ersten Hundschen Regel wird der Zustand mit parallel ausgerichteten Spins ($S = 1$) bevorzugt, was zu einem Triplett-Zustand führt.
2. Gemäß der zweiten Regel wird der Zustand mit dem größtmöglichen $L$-Wert energetisch bevorzugt. Da sich die Elektronen in unterschiedlichen Orbitalen befinden, können ihre bahnspezifischen Drehimpulse frei kombinieren, was zu einem höheren maximalen $L$-Wert führen kann.

In beiden Fällen ist der energetisch tiefste Term geprägt von der Tendenz, den maximalen Spin ($S$) und, wo möglich, den maximalen Bahndrehimpuls ($L$) zu erreichen. Jedoch führt die spezifische Einschränkung im $(np)^2$-Fall oft zu einem niedrigeren $L$-Wert, als es im $(np)^1(n'p)^1$-Fall der Fall wäre.