Zustände von Elektronen im Wasserstoffatom Quantenmechanik

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Zustände kann es im Wasserstoffatom nicht geben:

$$\quad \text {i) } 2^1s_{\frac{1}{2}} \quad \quad \text {ii) } 1^2p_{\frac{3}{2}}\quad \quad \text {iii) }   3^2p_{\frac{1}{2}} \quad \quad \text {iv) }   3^2d_{\frac{7}{2}}$$

Die Notation sollte denke ich bekannt sein. Falls nicht: bei i) steht 2 für die Hauptquantenzahl n , 1 Für die Multiplizität (2s +1) mit s = 1/2 dem Spin. s für den Zustand, also hier l = 0 und 1/2 für den Gesamtdrehimpuls J = L + S.

Ansatz/Problem:

Meine Verständnisfrage: Wasserstoff hat ja nur ein Elektron. Kann der Zustand dann nicht ausschließlich nur der folgende sein? $$1^2s_{\frac{1}{2}}$$

Denn für alle 4 Fälle aus der Aufgabe ist ja (außer bei i))der Zustand p oder d angegeben, welcher ja höher als s ist. Bedeutet das den nicht, dass alle niedrigeren Zustände mit Elektronen vollgepackt sein müssten? Oder ist $$1^2s_{\frac{1}{2}}$$  einfach nur der Grundzustand, und die Beispiele aus der Aufgabe nur mögliche Anregungen?

Dann würde ja:

i) nicht gehen weil die Multiplizität 1 ist und somit der Spn 0, aber das ist ein Widerspruch, da Elektronenspin s = 1/2.

ii) Wäre nicht möglich, da von s auf p zwar der Bahndrehimpulsunterschied Δl = 1 ist, die Multiplität stimmt, aber j = 1 + 1/2 = 3/2 nicht sein kann, da j = 1 - 1/2 gelten muss, weil die Schale weniger als halb voll ist?

iii) Wäremöglich, da von s auf p zwar der Bahndrehimpulsunterschied Δl = 1 ist, die Multiplität stimmt und = 1 - 1/2 = 1/2. Muss ich die Hauptquantenzahl 3 noch irgendwie beachten?

iv) geht nicht, da j = 7/2, setzt zu hohen Bahndrehimpuls was mit voraus und Δl ≠ 1 .

Bitte um Hilfe zum Verständnis bzw Korrektur.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung:

Um zu bestimmen, welche der angegebenen Zustände im Wasserstoffatom nicht existieren können, müssen wir die Quantenzahlen und ihre Beziehungen untereinander betrachten. Die Notation \(n^{2S+1}L_J\) bezieht die Hauptquantenzahl \(n\), die Bahndrehimpulsquantenzahl \(l\) (wobei \(L = s, p, d, f,...\) für \(l = 0, 1, 2, 3,...\) steht), die Spinquantenzahl \(s\) (für ein Elektron stets \(s = \frac{1}{2}\)), die Multiplizität (gegeben durch \(2S+1\), wobei \(S\) die Summe der Spinquantenzahlen ist) und den Gesamtdrehimpuls \(J = L + S\) zusammen.

i) \(2^1s_{\frac{1}{2}}\):

- Hauptquantenzahl \(n = 2\),
- Multiplizität \(2S+1 = 1\), was \(S = 0\) impliziert, was nicht möglich ist, da \(s = \frac{1}{2}\) für ein Elektron. Hier scheint es zu einem Missverständnis gekommen zu sein; ein Elektron im \(s\)-Zustand \(l=0\) mit \(s=\frac{1}{2}\) ergibt eine richtige Multiplizität von \(2\).
- \(s\)-Zustand impliziert \(l = 0\),
- \(J = \frac{1}{2}\) passt zu \(L+S = 0+\frac{1}{2}\).

Dieser Zustand ist tatsächlich möglich für ein Elektron im angeregten Zustand des Wasserstoffatoms. Dein Argument bezüglich der Multiplizität und des Spins ist nicht korrekt; für ein Elektron gilt immer \(s = \frac{1}{2}\), und die Multiplizität für einen einzelnen Elektronenspin von \(\frac{1}{2}\) ist 2.

ii) \(1^2p_{\frac{3}{2}}\):

- \(p\)-Zustand impliziert \(l = 1\),
- Die Hauptquantenzahl \(n=1\) und \(l=1\) ist nicht möglich, da für \(n=1\) nur \(l=0\) (der \(s\)-Zustand) möglich ist.

Dieser Zustand kann im Wasserstoffatom nicht existieren, weil die Kombination von Hauptquantenzahl und Bahndrehimpulsquantenzahl (n=1, l=1) nicht erlaubt ist.

iii) \(3^2p_{\frac{1}{2}}\):

- Hauptquantenzahl \(n = 3\),
- \(p\)-Zustand impliziert \(l = 1\),
- \(J = \frac{1}{2}\) ist ein möglicher Wert, der sich aus \(L + S\) zusammensetzen kann, da \(S=\frac{1}{2}\) und \(L=1\).

Dieser Zustand ist im Wasserstoffatom erlaubt und repräsentiert ein angeregtes Elektron in der dritten Schale mit einem \(p\)-Bahndrehimpuls.

iv) \(3^2d_{\frac{7}{2}}\):

- \(d\)-Zustand impliziert \(l = 2\),
- Ein Gesamtdrehimpuls \(J = \frac{7}{2}\) setzt voraus, dass eine Kombination von Bahndrehimpuls und Spin dies zulässt, was bei einem einzelnen Elektron mit \(s = \frac{1}{2}\) und \(l = 2\) nicht der Fall ist. Der maximale Gesamtdrehimpuls wäre \(l + s = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).

Dieser Zustand kann im Wasserstoffatom nicht existieren, da der Gesamtdrehimpuls \(J = \frac{7}{2}\) nicht durch die Kombination von \(l = 2\) und einem Elektronenspin von \(\frac{1}{2}\) erreicht werden kann.

Zusammenfassung:

- Zustand i) ist tatsächlich möglich, da ein Missverständnis bezüglich der Multiplizität bestand.
- Zustand ii) ist nicht möglich, da für \(n=1\) nur \(l=0\) gültig ist.
- Zustand iii) ist möglich und repräsentiert ein angeregtes Elektron.
- Zustand iv) ist nicht möglich, da der geforderte Gesamtdrehimpuls im Rahmen des Wasserstoffatoms nicht realisierbar ist.