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Es gibt drei Bauteile, alle haben dieselbe Wahrscheinlich von p, dass sie ausfallen.

Der Stromkreis besteht aus: Parallelschaltung von zwei solcher Bauteile, in Serie dann mit dem dritten.

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit r, dass beim Einschalten der Stromkreis unterbrochen wird (ausgedrückt durch p)?

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Mein Ansatz ist folgender.

Damit Strom fließt, muss das Bauteil ok sein, also (1-p).

Nach dem Baumdiagramm hätte ich Weg 1 + Weg 2 für Wahrscheinlichkeit, dass Strom fließt.

Da alle Bauteile eh gleich sind = 2 * Weg = 2 * (1-p)*(1-p).

Am Ende 1 - das.

Aber anscheinend stimmt es nicht.

Zuerst betrachten wir die Parallelschaltung:

Bild Mathematik

Wenn beide Bauteile kaputt sind, ist das der Pfad p*p=p^2.

Solange nur ein Bauteil kaputt ist oder beide ganz fließt der Strom. Hierfür ist die Wahrscheinlichkeit

p*(1-p)+(1-p)*p+(1-p)^2 = 2p-2p^2+1-2p+p^2 = 1-p^2 (plausibel, weil das die Gegenwahrscheinlichkeit zu p^2 ist)

Jetzt reduzieren wird das Bild auf Strom fließt und Strom fließt nicht in der Parallelschaltung:

Bild Mathematik

Ausgehend von der Parallelschaltung kommt jetzt die Reihenschaltung dahinter:

Bild Mathematik

Wenn der Strom in der Parallelschaltung nicht durchkommt ist es egal was dahinterkommt, d.h. der obere Zweig beschränkt sich auf p^2. Beim unteren Zweig kommt der Strom nicht durch, wenn das dritte Bauteil versagt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist: (1-p^2)*p = p - p^3.

Rechnet man die Wahrscheinlichkeiten dafür das der Strom in der Parallelschaltung nicht durchkommt (p^2) und dass er beim dritten Bauteil nicht durchkommt (p-p^3) zusammen, erhält man:

p + p^2 - p^3

2 Antworten

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Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden parallel geschalteten Bauteile gleichzeitig ausfallen, beträgt p2.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Parallelschaltung oder das in Reihe geschaltete dritte Bauteil ausfallen:

p + p2 - p3.

Dieses ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass der Stromkreis unterbrochen ist.

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Du hast oben versucht, mit Hilfe des Baumdiagrammes die Wahrscheinlichkeit für einen Stromfluss zu bestimmen.

Gehen wir mal alle möglichen Pfade durch:

Pfad_1: Bauteil_3 ist nicht defekt (1 - p) und Bauteil_1 ist nicht defekt (1 - p)

P1 = (1 - p)*(1 - p)

Pfad_2: Bauteil_3 ist nicht defekt (1 - p), Bauteil_1 ist defekt (p) und Bauteil_2 ist nicht defekt (1 - p)

P2 = (1 - p)*p*(1 - p)

Bildet man die Summe und zieht diese von 1 ab, erhält man das obige Ergebnis:

1 - (P1 + P2) = p + p2 - p3

Dein Fehler war, dass du den Weg 2 falsch bestimmt hast.

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Unterbrechung, wenn A  oder (B und C) unterbrochen wird
$$ U= A  \lor (B \land C)   $$

Eine Wertetabelle wäre der kunstloseste, aber hier noch gangbare Weg ...

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Die umfangreichen Erläuterungen von Kommentator 1  hätten mich eigentlich überzeugt, wenn bei mir Unklarheiten bestanden hätten:

Zuerst betrachten wir die Parallelschaltung:

Solange nur ein Bauteil kaputt ist oder beide ganz fließt der Strom. "

Was wird durch die Großbuchstaben klarer?

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