Hallo Rokko,
Grundsätzlich kann ich Dir zwei Möglichkeiten vorstellen. In jedem Fall suchst Du Dir zunächst einen Punkt, um den die Momente bestimmt werden sollen. Dazu nimmt man i.A. einen Punkt deren Kräfte man nicht kennt, da diese dann schon mal entfallen. Also hier z.B. das Lager \(A\). Verschiebe nun in Gedanken das Koordinatensystem in diesen Punkt und betrachte für jede der Achse alle anfallenden Kräfte.
Ich beginne mit der X-Achse. Die Kräfte \(F_2\) und \(B_z\) haben keinen Hebelarm zu der X-Achse durch \(A\) - bilden also auch kein Moment. \(F_1\) wirkt in Richtung der Achse - spielt also auch keine Rolle. Die Kräfte \(D_y\), \(C_y\) und \(F_3\) haben alle einen Hebelarm von \(3a\) bezüglich der X-Achse durch \(A\). Und das Moment \(M\) wirkt (gegen-sinnig!) genau in Richtung der X-Achse - also gibt das für alle Momente um \(A\) in X-Richtung:
$$3a\cdot (D_y + C_y - F_3) - M = 0$$ Genauso gehst Du mit der Y- und der Z-Achse vor. In jedem Fall musst Du auf die Richtung aufpassen. Denke Dir dazu, dass Du eine Schraube mit einem Schraubendreher in Richtung der jeweiligen Achse 'rein' drehst. Alle Produkte aus Hebelarm und Kraft, die Deine Bewegung unterstützen sind positiv, die die sie hemmen, sind negativ anzunehmen. Lagerreaktionen wirken in Richtung der Koordinatenachsen positiv, alle eingezeichneten Kräfte sind positiv in der Richtung, in der sie gezeichnet sind.
Die zweite Möglichkeit ist mehr formaler Natur. Für jede einzelne Kraft wird das Kreuzprodukt aus Hebelarm mal Kraft in vektorieller Form aufgestellt. Hier findest Du eine ähnliche Aufgabe. Nehme als Beispiel die Kraft \(F_1\). Ihr Kraftvektor wäre
$$\vec{F}_1 = \begin{pmatrix} -F \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ d.h sie wirk nur in negative X-Richtung. Der Ansatzpunkt \(^Ar_1\) von \(F_1\) ist das Lager \(C\). Aus der Sicht von \(A\) liegt \(C\) bei
$$^A \vec{r}_1 = \begin{pmatrix} a\\ 0\\ -3a\end{pmatrix}$$ das von \(F_1\) verursachte Moment um \(A\) ist dann
$$^A \vec{M}_1 = ^A \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} a\\ 0\\ -3a\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -F \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 3aF\\ 0\end{pmatrix}$$ d.h. die Kraft \(F_1\) erzeugt lediglich ein positives Moment um die Y-Achse durch \(A\). Denke Dir nochmal eine Schraube, die Du von unten (da Y nach oben zeigt!) durch das Lager \(A\) nach oben schraubst. So unterstützt die Kraft \(F_1\) diese Bewegung mit dem Hebelarm \(3a\).
Ich habe die komplette Momentengleichung um \(A\) mal aufgestellt:
$$ \begin{aligned} \sum {^AM} &= \begin{pmatrix} a/2 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\-2F\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0 \\B_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ 0\\ -3a\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -F\\C_y\\0 \end{pmatrix} \\ &\quad+ \begin{pmatrix} a/2 \\ 0\\ -3a\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\-3F\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ -3a\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\D_y\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -aF\\ 0 \\0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0\\0\\-aF \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\ -aB_z\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3aC_y\\ 3aF\\ aC_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9aF\\ 0 \\ -\frac32 aF \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3aD_y\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -aF\\ 0 \\0 \end{pmatrix}\\ &= \vec{0}\end{aligned}$$
$$\space \Rightarrow B_z=3F; \quad C_y = \frac52 F; \quad D_y = \frac56 F$$ Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!
Gruß Werner
