Zunächst mal zur Klärung eines Sachverhalts. Die Kraft \(F\) ist gegeben und die Stabkräfte sind als Vielfache von \(F\) gefragt. Man muss zwischen dem Betrag und dem Vektor \(F\) unterscheiden. Durch das Bild ist auch die Richtung von \(F\) gegeben. Wie Du das Koordinatensystem wählst ist letztlich egal. Nicht vogelwild und schräg - das produziert nur Arbeit. Aber einmal gewählt muss man sich daran halten!
Du kannst den Vektor als \(F\) schreiben und seinen Betrag als \(|F|\) oder den Vektor als \(\vec{F}\) und den Betrag als \(F\). Im Allgemeinen werden Stäbe immer als Zugstäbe angenommen und wenn ein negativer Wert für den 'Betrag' heraus kommt, dann ist es ein Druckstab. Im Folgenden verwende ich die zweite Schreibweise mit \(F\) und \(\vec{F}\).
In Deinem Koordinatensystem ist dann $$\vec{F} = \begin{pmatrix} -F \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$ negativ deshalb, da er in dem von Dir gewählten System in negative X-Richtung wirkt. So - und ab jetzt läuft die Aufgabe genauso wie schon Deine letzte Aufgabe. Das könntest Du jetzt 1:1 abschreiben, nur dass Du andere Zahlenwerte einsetzt!
Eine Stabkraft, die im Punkt \(D\) wirkt, sähe so aus:
$$ \vec{S_3} = S_3 \frac{1}{\sqrt{\cancel{13}\, \colorbox{#ffff66}{8}}}\begin{pmatrix} \cancel{3} \, \colorbox{#ffff66}{2} \\ 0\\ -2 \end{pmatrix}$$
Der Vektor hinter \(S_3\) inklusive der \(1/\sqrt{\cancel{13}\, \colorbox{#ffff66}{8}}\) ist ein Einheitsvektor. Und die physikalische Einheit (Newton oder Kilopound oder Vielfaches von \(F\)) steckt in \(S_3\).
Die Kraft, die der Stab \(S_3\) auf den Punkt \(B\) ausübt, ist aber genau negativ - also:
$$ {^B\vec{S_3}} = S_3 \frac{1}{\sqrt{\cancel{13}\, \colorbox{#ffff66}{8}}}\begin{pmatrix} \cancel{-3} \, \colorbox{#ffff66}{-2} \\ 0\\ +2 \end{pmatrix}$$ man muss also bei den Stäben zwischen der Stabkraft als skalare Größe (positiv: Zug. und negativ: Druckstab) und deren Wirkung auf die Knoten unterscheiden.
Und der Rest ist wie gehabt. Im Knoten \(D\) gilt:
$$\vec{S_1}+\vec{S_2}+\vec{S_3}+\vec{F}=\vec{0}$$ mit $$\begin{aligned} \vec{S_2} &= S_2 \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix} \\ \vec{S_1} &= S_1 \frac{1}{\sqrt{12}}\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ rechnen darfst Du jetzt mal selber. Ich zeige Dir nochmal wie mal relativ schnell zu einer Lösung kommt. Dazu betrachte die XZ-Ebene, in der die Knoten \(D\) und \(B\) liegen. Betrachte die Summe aus \(\vec{S_1}+\vec{S_2}=\vec{S_{1,2}}\) und zeichne Dir das mal auf. Dann sieht man 'sofort', dass \(\vec{S_3}\) und \(\vec{S_{1,2}}\) senkrecht zueinander stehen und im Winkel von \(45°\) zu \(\vec{F}\) verlaufen - also muss sein:
$$\begin{aligned} S_3 &= \frac12 \sqrt{2} F \\ S_{1,2} &= -\frac12 \sqrt{2} F\end{aligned}$$
Damit kennt man auch die Kraft \(^BS_{3z}=F/2\) (warum?). D.h. \(S_3\) zieht mit \(F/2\) an \(B\) nach oben. Da \(\vec{F}\) selbst keine Kraft in Z-Richtung hat, muss eine genauso große Gegenkraft in \(A\) und \(C\) wirken. Und zwar im Verhältnis 2:1. Man kann also direkt hinschreiben:
$$^A{S_{2z}} = -\frac13 F; \quad {^CS_{1z}} = -\frac16F$$ Daraus folgen dann unmittelbar die Stabkräfte, wenn wir dies oben in die Gleichung einsetzten:
$$ \vec{S_2} = S_2 \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{2x} \\ S_{2y}\\ \frac13 F \end{pmatrix} \quad \Rightarrow S_2 \frac13 (-2)= \frac13F \quad \Rightarrow S_2 = -\frac12F$$ Genauso ist \(S_1 = -(\sqrt{3}/6)F\).
Jetzt hoffe ich mal, dass ich mich in der Eile nicht verrechnet habe, falls Du Fragen hast, so schreibe sie auf. Ich schaue mir das morgen an.
Gruß Werner
