Extremum des Morse-Potential

Question

Hallo Leute
mit folgender Aufgabe bin ich total überfordert :

a.)

Für das Extremum müsste ich nun erstmal die Nullstelle der 1. Ableitung berechnen dies wäre der Punkt xm  und danach diesen Punkt in die 2. Ableitung einsetzen um zu prüfen ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Mein Ansatz :

V´(x) = V₀ * 2 *( 1- e^-a(x-x0) ) * ( e^-a(x-x0))
Doch wie geht es nun weiter ? Die Ableitung habe ich mit der Kettenregel gebildet nach der Form :  V(z) = V₀ (z)²  =>  V´(z) = V₀  * 2*(z) * z´    für z = 1- e^-a(x-x0)

Hoffe man kann mir weiter helfen.
Mit freundlichen Grüßen 
Kevin

Answer 1

a)

x0 = b

V(x) = V0·(1 - e^{- a·(x - b)})^2

V'(x) = V·2·(1 - e^{- a·(x - b)})·(- e^{- a·(x - b)})·(-a)

V'(x) = V·2·a·e^{- a·(x - b)}·(1 - e^{- a·(x - b)}) = 0

1 - e^{- a·(x - b)} = 0

e^{- a·(x - b)} = 1

- a·(x - b) = 0

x = b

Es sollte also für x = x0 eine Extremstelle geben.

Da es die einzige ist kannst du auch über das Verhalten im Unendlichen auf die Art des Extremas schließen. Wenn ich in meine Kristallkugel schaue sehe ich einen Tiefpunkt.