Aufgabe Linenintegrale:
Ordnen Sie jedem der folgenden Vektorfelder \( F_{i} \) ( \( i \in\{1,2,3\} \) ) das zugehorige Potential \( \Phi_{\alpha}(\alpha \in\{(a),(b),(c),\}) \) zu.
\( \begin{array}{l} F_{1}(x, y, z)=\frac{-2}{\left(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) & \Phi_{(a)}(x, y, z)=z^{2} \cos (x y z) \\ F_{2}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ 6 y^{2} \\ 8 z \end{array}\right) \\ F_{3}(x, y, z)=z^{2} \sin (x y z)\left(\begin{array}{c} -y z \\ -x z \\ \frac{2}{z} \cot (x y z)-x y \end{array}\right) \quad \Phi_{(c)}(x, y, z)=x^{2}+2 y^{3}+4 z^{2} \end{array} \)
Bestimmen Sie \( \int \limits_{C} F_{i} d \gamma \) für \( i \in\{1,2,3\} \) und die durch den Weg
\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} t^{2} \cos \left(\pi t^{2}\right) \\ \cos (\arctan (t)) \\ 6 t^{4}-2 t^{3}+t^{2}-7 t \end{array}\right) \quad \text { für } t \in[0,1] \)
beschriebene Kurve.
Ansatz/Problem:
Das zuordnen war kein Problem da reichte es ja einfach die Potentiale nach den Komponenten abzuleiten und anschließend zu vergleichen.
Mein Problem bezieht sich auf den 2. Teil der Aufgabe. Wenn ich die Aufgabe ver suche so zu lösen wie ich vermute kommen da nahezu unlösbare Integrale raus und die nur mit sehr sehr hohem aÁufwand gelöst werden können und das glaube ich nicht da es nur 3 Punkte gibt für die Aufgabe. Also meine Idee :
$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ (\frac { -2 · \varphi_{ 1 } }{ (1+{ \varphi_{1}}^{2}{ \varphi_2}^ 2{ \varphi_3}^ 2)^ 2 } } ;\frac { -2*{ \varphi }_{ 3 } }{ (1+{ \varphi_{1}}^ 2{ \varphi_2}^ 2{ \varphi_3}^2)^ 2 } ;\frac { -2* \varphi_3 }{ (1+{ \varphi_1 }^ 2{ \varphi_2}^2 {{ \varphi }_{ 3 }}^2 ) ^2 } )dt $$
Ist meine Idee richtig oder habe ich irgendetwas falsch verstanden?
