Berechnung eines Verktorfeldes (Gradientenfeldes) entlang einer Kurve

Question

Aufgabe Linenintegrale:

Ordnen Sie jedem der folgenden Vektorfelder $F_{i}$ ( $i \in\{1,2,3\}$ ) das zugehorige Potential $\Phi_{\alpha}(\alpha \in\{(a),(b),(c),\})$ zu.

$\begin{array}{l} F_{1}(x, y, z)=\frac{-2}{\left(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) & \Phi_{(a)}(x, y, z)=z^{2} \cos (x y z) \\ F_{2}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ 6 y^{2} \\ 8 z \end{array}\right) \\ F_{3}(x, y, z)=z^{2} \sin (x y z)\left(\begin{array}{c} -y z \\ -x z \\ \frac{2}{z} \cot (x y z)-x y \end{array}\right) \quad \Phi_{(c)}(x, y, z)=x^{2}+2 y^{3}+4 z^{2} \end{array}$

Bestimmen Sie $\int \limits_{C} F_{i} d \gamma$ für $i \in\{1,2,3\}$ und die durch den Weg

$\gamma(t)=\left(\begin{array}{c} t^{2} \cos \left(\pi t^{2}\right) \\ \cos (\arctan (t)) \\ 6 t^{4}-2 t^{3}+t^{2}-7 t \end{array}\right) \quad \text { für } t \in[0,1]$
beschriebene Kurve.

Ansatz/Problem:

Das zuordnen war kein Problem da reichte es ja einfach die Potentiale nach den Komponenten abzuleiten und anschließend zu vergleichen.

Mein Problem bezieht sich auf den 2. Teil der Aufgabe. Wenn ich die Aufgabe ver suche so zu lösen wie ich vermute kommen da nahezu unlösbare Integrale raus und die nur mit sehr sehr hohem aÁufwand gelöst werden können und das glaube ich nicht da es nur 3 Punkte gibt für die Aufgabe. Also meine Idee :

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ (\frac { -2 · \varphi_{ 1 } }{ (1+{ \varphi_{1}}^{2}{ \varphi_2}^ 2{ \varphi_3}^ 2)^ 2 } } ;\frac { -2*{ \varphi }_{ 3 } }{ (1+{ \varphi_{1}}^ 2{ \varphi_2}^ 2{ \varphi_3}^2)^ 2 } ;\frac { -2* \varphi_3 }{ (1+{ \varphi_1 }^ 2{ \varphi_2}^2 {{ \varphi }_{ 3 }}^2 ) ^2 } )dt$$

Ist meine Idee richtig oder habe ich irgendetwas falsch verstanden?

Comments

Schon beim Lesen Deiner Ueberschrift ueberkommt einen ein ungutes Gefuehl. Wegintegrale sollst Du berechnen, kein Vektorfeld entlang einer Kurve!

Sei's drum. Die Wegintegrale sollst Du mit den gefundenen Potentialen berechnen, nicht zu Fuss!

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Ohh ja dass kann gut sein. Ich studiere auch Maschinenbau und uns wird mehr das wie mit auf den Weg gebracht und nicht das Warum . Sorry dafür. Aber wie mache ich dass denn mit den Potentialen. Dazu finde ich nichts in meinem Skript und wenn ich ehrlich bin weiß ich auch nicht mal mehr genau was die Potentiale explizit  sind bzw. was die mir bringen..

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Mechanik macht der Maschinenbauer keine?

http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/potential.…

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Achso das Potential hier ist das selbe wie in der Mechanik . Jetzt verstehe ich aich was mir diese Wegintegrale bringen . Ich dachte die ganze Zeit das wäre nur igendein Mathematisches Hilfskonstrukt . Jetzt weiß ich was ich machen muss und warum es nur 3 Punkte dafür gibt :D Danke für die Erleuchtung . Und Entschuldigung für die blöde Frage .

Answer 1

Hallo,

hier mal eine Beispielrechnung:

F2(x,y,z)=(2x,6y^2,8z)

φ(x,y,z)=x²+2y³+4z²

Die beschriebene Kurve hat den Anfangspunkt (t=0) A=(0,1,0) und den Endpunkt (t=1)

B=(-1,1/√2,-2)

Jetzt gilt

∫_C F2(x,y,z)dr=φ(B)-φ(A)=17+1/√2 -2=15+1/√2

(Ähnlich zur klassischen Stammfunktion im eindimensionalen)