Stehaufmännchen. Wie berechne ich die Lage des Schwerpunktes und die maximale Höhe h?

Question

Hallo, (siehe unten für meine Frage :) ) ist wirklich sehr dringend da diese Aufgabe sehr wichtig für meine Prüfung ist...

Die Aufgabe: (siehe Anhang für Aufgabe+Darstellung+Lösung) Ein Stehaufmännchen besteht aus einem geraden Kreiskegel mit einem Zylinderzapfen und einer Halbkugel, die auf den Zapfen aufgesteckt ist. Der Kreiskegel besteht aus einem Werkstoff mit der Dichte p₂ und die Halbkugel aus Blei mit der Dichte p₁.

Gegeben: p₁ ,p_{2 =} p₁/2 ,r , h

Gesucht:

1. ist die Lage des Schwerpunktes des Stehaufmännchens in Abhängigkeit vom Radius r und der Höhe h des Kegels und

2. die maximale Höhe h des Kegels so, dass sich das Stehaufmännchen sich bei einer waagerechten Auslenkung wieder

aufrichtet.

Meine Frage: (siehe Lösung) Undzwar wurde in der Lösung das Gesamtsystem in 4 Teile  zerlegt. Ich verstehe nicht, wie die bei 1.Halbkugel auf z1 und m1 gekommen sind (Wie sind die auf die Zahlen gekommen und ich weiss das bei Masse = Länge* Dichte gilt trotzdem verstehe ich nicht wie genau man auf diese Zahlen kommt... Bei 2. Zylinder verstehe ich zwar wie man auf z2 kommt aber nicht wie man auf m2 kommt. Bei 3. Zylinderbohrung  unten (z3, m3) und 4. Kegel oben (z4, m4) versteh ich nicht wie man auf z und m kommt. Zudem verstehe ich die zweite Aufgabe komplett nicht. Würde mich wirklich auf sehr konkrete Erklärungen freuen, werde natürlich die beste Erklärung markieren :D

Danke euch voraus (sry wegen Grammatik-/Rechtschreubfehler)

MfG,

mistermathe

Anhang:

Aufgabe:

 

Lösung:

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stehaufmännchen. Wie berechne ich die Lage des Schwerpunktes und die maximale Höhe h?

Stichworte: kegel,radius,schwerpunkt,physik,prüfung,kraft,mathearbeit

Hallo,

Die Aufgabe: (siehe Anhang für Aufgabe+Darstellung) Ein Stehaufmännchen besteht aus einem geraden Kreiskegel mit einem Zylinderzapfen und einer Halbkugel, die auf den Zapfen aufgesteckt ist. Der Kreiskegel besteht aus einem Werkstoff mit der Dichte p₂ und die Halbkugel aus Blei mit der Dichte p₁.

Gegeben: p₁ ,p_{2 =} p₁/2 ,r , h

Gesucht:

1. ist die Lage des Schwerpunktes des Stehaufmännchens in Abhängigkeit vom Radius r und der Höhe h des Kegels und

2. die maximale Höhe h des Kegels so, dass sich das Stehaufmännchen sich bei einer waagerechten Auslenkung wieder

aufrichtet.

Meine Frage: Ich komme gar nicht klar wie ich die beiden Aufgaben lösen kann, würde mich echt auf Erklärungen freuen :) . Die beste Antwort wird markiert (PS: Ich bereite mich auf eine Prüfung vor)

Anhang:

Aufgabe

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Ich wuerde das Ding ja wieder in Teile zerlegen, von denen man den Schwerpunkt in einer Tabelle oder bei Wikipedia oder sonstwo nachgucken kann, und dann aus den Schwerpunkten/Massen der Einzelteile den Schwerpunkt des ganzen Dingens berechnen (wie bei der Strassenlaterne).

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Gute Nacht, ja der Ansatz ist absolut richtig! Zerlegen in kleine Teile und daraus den gesamt Schwerpunkt berechnen!

Aus der Technischen Mechanik gibt es zwei Formeln für den Punkt des Schwerpunktes bei Flächen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Zusammenfassen_von_Schwerpunkten

Die Formel für die 2D Fläche trifft hier Anwendung.

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Hey mistermathe,

hier gibt es eine Aufabe mit einem Stehaufmännchen: http://goessner.net/learn/tm/exercises/schwerpunkt/

vielleicht hilft es ja. Allerdings wundert mich, warum in Deiner Lösungshilfe im Zähler h und r in der zweiten und im Nenner in der ersten Potenz stehen und warum dort kein π im Nenner steht.

Answer 1

Hi mistermathe! :-)

Ich verstehe nicht, wie die bei 1.Halbkugel auf z1 und m1 gekommen sind (Wie sind die auf die Zahlen gekommen und ich weiss das bei Masse = Länge* Dichte gilt trotzdem verstehe ich nicht wie genau man auf diese Zahlen kommt...

Masse = Volumen*Dichte...
z1 ist der Abstand von y=0 bis zum Schwerpunkt der Halbkugel.
z1 ist negativ, weil der Schwerpunkt der Halbkugel unterhalb der xy-Ebene liegt.
Siehe hier unter Halbkugel http://wandinger.userweb.mwn.de/Formelsammlungen/schwerpunkt.pdf

Vk = 4/3*pi*r^3 ist das Volumen einer Kugel.
Vhk = 1/2 * 4/3*pi*r^3 = 2/3*pi*r^3 ist das Volumen der Halbkugel.
Die Masse der Halbkugel(ohne Bohrung) ist also m1 = Vhk * ρ1 = 2/3*pi*r^3 * ρ1

Bei 2. Zylinder verstehe ich zwar wie man auf z2 kommt aber nicht wie man auf m2 kommt.

Der Zylinder hat die Höhe r/2 und die Grundfläche (r/4)^2*pi.
Da Volumen des Zylinders ist Vz = r/2 * (r/4)^2*pi = 1/32 *r^3*pi
Die Masse des Zylinders ist m2 = Vz*ρ2.
Weil ρ2 * ρ1/2 gilt, ist m2 = Vz*ρ1/2 = 1/32*r^3*pi*ρ1/2 = 1/64*r^3*pi*ρ1.


Bei 3. Zylinderbohrung  unten (z3, m3) und 4. Kegel oben (z4, m4) versteh ich nicht wie man auf z und m kommt.

Die Zylinderbohrung berechnet man wie den Zylinder, der in der Bohrung steckt. D.h. der Schwerpunkt vom Zylinder ist an derselben Stelle wie der Schwerpunkt der Bohrung, also gilt z2 = z3 = -1/4r. Das Volumen Vb der Bohrung ist gleich dem Volumen des Zylinders: Vb = Vz = 1/32 *r^3*pi und weil die Halbkugel die Dichte ρ1 hat, ist die herausgebohrte Masse m3 = Vb*ρ1 = 1/32*r^3*pi*ρ1

Der Kegel hat den Schwerpunkt bei h/4(siehe verlinkte PDF unter Kegel).
Es ist also z4 = h/4. Der Kegel hat das Volumen Vk = 1/3*r^2*pi*h und die Masse m4 = Vk*ρ2. Wegen ρ2 = ρ1/2 ist die Masse m4 = Vk*ρ1/2 = 1/3*r^2*pi*h*ρ1/2 = 1/6*r^2*pi*h*ρ1



Zudem verstehe ich die zweite Aufgabe komplett nicht.

Wird das Männchen in eine horizontale Lage gebracht(die z-Achse ist dann waagerecht), und festgehalten, soll es sich wieder aufrichten(und nicht auf die Seite mit dem Kegel fallen). https://www.grund-wissen.de/physik/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-loesungen.html
Die Berechnung des Schwerpunktes z_s mit dem Tabellenverfahren im ersten Aufgabenteil basiert ja auf dem Momentensatz. Gedreht wurde um den Punkt P, die Schnittfläche der Halbkugel liegt in der xy-Ebene, der Schwerpunkt des Männchens muss unterhalb der xy-Ebene liegen, muss also eine negative z-Koordinate haben, dann gilt z_s < 0.

 
Beste Grüße
gorgar

Comments

Hey,

Danke dir :D hab es endlich verstanden. Jedoch hätte ich noch eine Frage...

In der Lösung steht bei Zylinderbohrung unten für m_3 = -1/32*r³*pi*ρ1  anstatt m_3 = 1/32*r³*pi*ρ1, weisst du vielleicht warum in der Lösung minus steht? 

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Schön, das freut mich! :-)

Das lässt sich mit dem Momentensatz erklären.
Die mi sind analog zu Kräften, die mi*zi analog zu Drehmomenten.
m1*z1 ist in der Tabelle negativ, enspricht einem rechtsdrehenden Moment.
m1 ist die Masse der kompletten Halbkugel, ohne die Bohrung, die "Kraft" m1 ist also zu groß und damit auch das "Drehmoment" mi*zi, weil die Halbkugel eine Bohrung hat.
Das macht man damit wieder gut, indem man ein gegensinniges Moment m3*z3 wirken lässt. Würde man die drehmomenteerzeugenden Massen wie Kräfte einzeichnen, um den Momentensatz um P(0,0,0) aufzustellen, könnte die Skizze im Einklang mit den Vorzeichen in der Lösungstabelle so aussehen:

Die einfache Merkregel ist, dass Aussparungen mit negativem Vorzeichen in die Rechnung eingehen.
Zitat: "Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden unter Berücksichtigung, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung eingehen."
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Zusammenfassen_von_Schwerpunkten