Straßenlaterne. Wie berechne ich die Lage des Schwerpunktes?

Question

Hallo,

Die Aufgabe: Die abgebildete Straßenlaterne besteht aus einem gebogenen Rohr und einem Lampenkörper. Das Rohr hat die längenbezogene Masse m_R. Der Schwerpunkt des Lampenkörpers mit der Masse m_L ist in seinem Volumenmittelpunkt. (siehe Anhang für Darstellung + Aufgabe)

Gegeben: a =Im, m_R= 10kg/m, m_L = 10kg

Gesucht: ist die Lage des Schwerpunktes.

Meine Frage: Ich verstehe nicht wie man in der Lösung (siehe Anhang) bei 2.Bogen auf x₂ , y₂ und m₂ kommt.

Würde mich sehr auf Erklärungen freuen (werde wie immer die beste Antwort markieren)

MfG,

mistermathe

Anhang:

Aufgabe

Lösung:

Comments

Wird von euch verlangt, dass du die Summen entlang eines Bogens mit einer Integration berechnest?

Answer 1

Hallo Mistermathe! :-)

Bogen

\( \sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt2}{2} \)
\( y_s = \frac{2r^2 \sin(\alpha)}{b}  \) https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Kreisbogen

Der Bogen ist ein Viertelkreis, ein Viertel des Umfangs:
\( b = \frac{U}{4} = \frac{2r \pi }{4} =   \frac{1}{2}r\pi  \)
Eingesetzt in y_s:
\( y_s = \frac{2r^2 \sin(45^{\circ})}{b} = \frac{2r^2 \sin(45^{\circ})\cdot4}{2r\pi} = \frac{r \sin(45^{\circ})\cdot 4}{\pi} = \frac{r \sqrt{2}\cdot4}{\pi\cdot 2}= \frac{2\sqrt{2}\cdot r}{\pi} \)

(Für die nächste Rechnung siehe Skizze)
\( \Delta y =  y_s \sin(45^{\circ}) = y_s\frac{\sqrt2}{2} = \frac{2 \sqrt{2}\cdot r}{\pi}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2r}{\pi} \)

\( x_1 = y_s\cos(45°) = \frac{2\sqrt{2}\cdot r}{\pi} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2r}{\pi} \)
\( \Delta x = r- x_1 = r - \frac{2r}{\pi} \)

Wenn Du r=a setzt, kommst Du auf die Werte der Lösungshilfe.
Nachtrag:
$$ y_2 = 8a + \Delta y = 8a + \frac{2r}{\pi} = 8a + \frac{2a}{\pi} = 8m + \frac{2m}{\pi} = 8.64m \\x_2 = \Delta x = r - \frac{2r}{\pi} = a - \frac{2a}{\pi} = 1m - \frac{2m}{\pi} = 0.36m $$ 
 

Masse
Einfach die Länge des Viertelkreises mit m_R multiplizieren.
Nachtrag: \( m_2 = b\cdot m_R=\frac{1}{2}r \cdot \pi\cdot m_R = \frac{1}{2}a \cdot \pi\cdot m_R = \frac{1}{2}\cdot 1m \cdot \pi\cdot 10\frac {kg }{ m } = 15.71kg \)

Das war gerade hopp hop hopp... hoffe, dass nicht so viele Fehler drin sind, bin gerade kurz angebunden, kann also nicht viel erklären. Falls Du noch Fragen hast, nur zu, ich bin morgen wieder online.

Beste Grüße
gorgar

Comments

muss bei y_s = (4r² sin(45°)*4/)(r*π) da  b= (1/ 2)*r* π stehen?

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Ja, das steht dort, ohne die Malzeichen.

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achso ok danke dir

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@mistermathe: Mich wuerde mal interessieren, was Du jetzt mitgenommen hast. Die Formel für den Kreisbogenschwerpunkt ist ja einfach aus der Luft bzw. aus der Wikipedia gegriffen. Herleitung gibt es keine, selber waerst Du nie draufgekommen und besprochen wurde sie auch nicht, weil Du das ja sonst mitbekommen haettest. Was machst Du jetzt damit? Doch auswendig lernen?

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"achso ok danke dir"

Gerne! :-)

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@fakename ja werde es auswendig lernen

Answer 2

Da die Loesung keine Rechnung für die Schwerpunktkoordinaten des Bogens enthaelt, wird wohl auch keine erwartet. Du sollst das vermutlich entweder einer Tabelle entnehmen oder auswendig gelernt haben. Fuer so ein paar Standardteile geht das ja noch. Und die Frage, wie man die Masse des Bogens ausrechnet, ist schon arg verdaechtig: Lineare Dichte × Laenge doch wohl?

Comments

Hey,

Ich weiss wie man auf 1.Langes, gerades Teilstück, 3. kurzes Teilstück oben, 4. Lampe kommt(auch die Rechnung), jedoch weiß ich nicht wie man bei 2. Bogen auf die Zahlen kommt. Ich bin mir sicher das dazu keine Tabelle gibt oder das wir dazu etwas auswendig lernen sollten, sonst hätte ich es ja mitbekommen.

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Wenn Du alles mitbekommen hast, dann weisst Du ja auch, wie man es selber ausrechnen kann: $$x_s=\frac{1}{m}\int\limits_{\text{Bogen}}x\,dm=\frac{1}{\ell}\int\limits_{\text{Bogen}}x\,d\ell,$$ $$y_s=\frac{1}{m}\int\limits_{\text{Bogen}}y\,dm=\frac{1}{\ell}\int\limits_{\text{Bogen}}y\,d\ell.$$ (Das zweite Integral jeweils für konstante Dichte.)

Wenn man das für einen Referenzviertelskreisbogen so wie in der Skizze mit Nullpunkt links unten und Radius \(a\) macht, kriegt man $$x_s=a\left(1-\frac{2}{\pi}\right)$$ und $$y_s=\frac{2a}{\pi}$$ raus.