Trägheitsmoment Kegel, wo ist mein Fehler (Zylinderkoordinaten)

Question

$$ J=\int r^2 dm=\int r^2 \rho dV=\int_{0}^{H}\int_{0}^{Rz/H}\int_{0}^{2\pi}r^3 \rho ~d\phi~ dr ~dz\\ =2\pi \rho\int_{0}^{H}\int_{0}^{Rz/H}r^3 ~ dr ~dz=2\pi \rho\int_{0}^{H}\frac { (Rz/H)^4 }{ 4 } ~dz=0,5\pi \rho (R/H)^4\int_{0}^{H}z^4  ~dz \\ =  0,5\pi \rho (R/H)^4\cdot H^5/5=\frac { \pi}{ 10 } \rho R^4\cdot H  $$

Berechnung der oberen Grenze "r":

Answer 1

Hallo,

du hast alles richtig berechnet.

Du kannst am Ende noch

 $$ M=\rho V=\rho \frac { R^2\pi H }{ 3 } $$

verwenden, um das Ergebnis kompakter schreiben zu können:

$$ J=\frac { 3 }{ 10 }MR^2 $$