Anfangswertproblem eines schwingenden Pendels

Question

Könnt ihr mir helfen? Danke schön

Answer 1

♦ Einen passenden Satz aus der Vorlesung benutzen, wuerde ich sagen.

♦ Ich hab gemacht, was da vorgeschlagen ist, und komme auf

$$t(\phi)=\sqrt{\frac{\ell}{2g}}\,\int_0^\phi\!\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1+\cos\varphi}}.$$ Das Integral kann man nicht geschlossen auswerten, das ist bekannt (elliptisches Integral).

♦ $\phi_-=-\pi$ und $\phi_+=\pi$. Das ist die unmoegliche Schwingung aus der instabilen Gleichgewichtslage heraus ohne Schubser, beginnend bei $t(\phi_-)=-\infty$ und endend bei $t(\phi_+)=\infty$.

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Danke dir für die Hilfe

Answer 2

Hi,
die Dgl. mit $\dot \varphi$ multiplizieren ergibt
$$(1) \quad \ddot \varphi \cdot \dot \varphi + \frac{g}{l} \cdot \sin(\varphi) \cdot \varphi = 0$$
(1) ist äquivalent zu
$$(2) \quad \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \dot \varphi^2 - \frac{g}{l} \cdot \frac{d}{dt}\cos(\varphi) = 0$$
Das bedeutet
$$(3) \quad \frac{1}{2} \dot \varphi^2 - \frac{g}{l} \cdot \cos(\varphi) = E_0$$ wobei $E_0$ eine Konstante ist. Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich
$$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{g}{l} - \frac{g}{l} = \frac{g}{l} = E_0$$ Also lautet (3) jetzt
$$(4) \quad \dot \varphi = \sqrt{ 2 \cdot \frac{g}{l} \cdot \left( 1 + \cos(\varphi) \right) }$$
(4) kann man durch trennen der Variablen lösen und kommt dann auf
$$(5) \quad t(\varphi) = \sqrt{ \frac{l}{2g} } \int_0^\varphi \frac{ dx}{ \sqrt{1+\cos(x)} } = \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \text{arsinh} \left( \frac{ \sin(\varphi) }{ \cos(\varphi)+1 } \right)$$

Comments

Bei (5)  ist dir ein Fehler unterlaufen, unter der Wurzel steht 1+cos(x).

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Hi, danke, habe ich geändert.

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Danke schön für die Hilfe