Hallo,
die Zentrifugalkraft beträgt
\( F_Z = m \omega^2 x \).
Die Federkraft beträgt
\( F_c = - c x \).
Das Vorzeichen bedeutet, dass die Federkraft in die entgegengesetzte Richtung wirkt wie die Zentrifugalkraft.
Glücklicherweise sind beide Kräfte linear in \( x \), sodass die Kräftebilanz nachdem sie als
\( F_{gesamt} = F_Z + F_c \),
beziehungsweise
\( m a = m \omega^2 x - c x \)
geschrieben wird, vereinfacht werden kann zu:
\( m \ddot{x} = (m \omega^2 - c) x \) (Linearität in \( x \) zur Vereinfachung ausgenutzt).
Das heißt, die beiden Kräfte können als eine einzige resultierende Federkraft im betrachteten Bezugssystem gedeutet werden. Somit vereinfacht sich die Problemstellung zum klassischen ungedämpften Oszillator:
\( m \ddot{x} = - K x \)
mit \( K \equiv c - m \omega^2 > 0 \).
Die Positivität folgt aus der vereinfachenden Annahme \( F_c > F_Z \), bzw. \( c > m \omega^2 \) in der Aufgabenstellung.
Umgestellt heißt diese Differentialgleichung:
\( \ddot{x} = - \frac{K}{m} x \ \ \ \) (*).
Sie hat die allbekannten Lösungen
\( x = C_1 \sin\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \) oder
\( x = C_2 \cos\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \)
mit freien Parametern \( C_1 \) und \( C_2 \). Auch die Summe dieser Lösungen
\( x = C_1 \sin\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) + C_2 \cos\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \)
ist eine Lösung (da (*) es eine lineare Differentialgleichung ist).
Die Parameter \( C_1 \) und \( C_2 \) folgen dann aus den Anfangsbedingungen \( v(0) = v_0 = 0 \) ("relativ zum Rohr in Ruhe") und \( x(0) = x_0 \). Daraus muss folgen, dass \( C_1 = 0 \) und \( C_2 = x_0 \) ist (kann man anhand des Verlaufes der Sinus- und Kosinusfunktion erkennen).
Es muss
MfG
Mister
