Änderung Impulsbetrag und kinetische Energie einer Rakete

Question

Aufgabenstellung: 

Eine 3000kg schwere Rakete bewegt sich geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit von 320m/s. Plötzlich werden die Steuertriebwerke gezündet, und 55.0s lang wirkt eine Schubkraft von 3000N auf die Rakete. Nehmen Sie an, die Masse der ausgestoßenen Verbrennungsgase sei im Vergleich zur Gesamtmasse der Raumsonde vernachlässigbar.

a) Wie ändert sich der Betrag des Impulses der Sonde, wenn die Schubkraft vorwärts, rückwärts bzw. direkt seitwärts gerichtet ist?

b) Wie ändert sich in diesen drei Fällen die kinetische Energie?

Mein Ansatz für a) gegeben: $$ m=3000kg~(aendert~sich~ja~nicht)~~~v=320\frac{m}{s}~~~\Delta t=55.0s~~~{F}_{Thrust}=R{v}_{rel}=3000N $$

1) Sei die Schubkraft vorwärts gerichtet, dann gilt für den Impuls

$$ \overrightarrow{J}_{vorwärts}={p}_{final}-{p}_{initial} $$

$$(i)~~Es~gilt:~~{p}_{initial}=m\cdot {v}_{initial}=3000kg\cdot 320\frac{m}{s}=960000\frac{kg~m}{s}$$

$$(ii)~~Es~gilt:~~{p}_{final}=m\cdot {v}_{final}\\mit~~{v}_{final}={v}_{0}+at=320\frac{m}{s}+a\cdot 55s~~mit~~a=\frac{R{v}_{rel}}{m}=\frac{3000N}{3000kg}=1\frac{m}{{s}^{2}}\Rightarrow {v}_{final}=375\frac{m}{s} $$

$$ \Rightarrow {p}_{final}=3000kg\cdot 375\frac{m}{s}=1125000\frac{kg~m}{s} $$

$$(iii)~~\Rightarrow  \overrightarrow{J}_{vorwärts}={p}_{final}-{p}_{initial}=1125000\frac{kg~m}{s}-960000\frac{kg~m}{s}=165000\frac{kg~m}{s}$$

2) Sei die Schubkraft rückwärts gerichtet, dann gilt für den Impuls

Dann ist ja eigentlich fast alles gleicht außer, dass die Beschleunigung negativ ist

$$\Rightarrow a=-1\frac{m}{{s}^{2}} \Rightarrow {v}_{final}=320\frac{m}{s}+(-1\frac{m}{{s}^{2}})55s=265\frac{m}{s} \Rightarrow {p}_{final}=3000kg\cdot 265\frac{m}{s}=795000\frac{kg~m}{s}$$

Somit für den Impuls

$$\overrightarrow{J}_{rückwärts}={p}_{final}-{p}_{initial}=795000\frac{kg~m}{s}-960000\frac{kg~m}{s}=|-165000\frac{kg~m}{s}|$$

Also ist für den Betrag des Impulses egal, ob die Schubkraft vorwärts oder rückwärts gerichtet ist.

3) Sei die Schubkraft seitwärts gerichtet,

Hier kann ich mir das irgendwie nicht so richtig vorstellen, ich weiß nicht einmal wie man das Skizzieren würde 

Mein Ansatz für b) gegeben:

Muss man hier einfach 

$$ \Delta K={K}_{final} - {K}_{initial} $$

berechnen also theoretisch wie beim Impulsbetrag, nur halt mit den Energieformeln?

Answer 1

Hallo,

Du hast die Impulsänderung für den Vorwärts- und Rückwärtsschub korrekt berechnen. Es geht aber wesentlich einfacher, wenn man bedenkt, dass die Impulsänderung eines Körpers \(\Delta I=\int F(t) dt\) ist. In Deinem Fall ist es $$\Delta I = \int_0^{55s}3000\text{N} dt=3000\text{N} \cdot 55\text{s}=165000\text{Ns}$$ einmal in Richtung der Bewegung und einmal entgegen gesetzt. Der Betrag ist aber jeweils gleich (positiv!).

Um die seitwärts gerichtete Impulsänderung zu bestimmen, sollte man beachten, dass der Impuls, genau wie die Geschwindigkeit, eine gerichtete Größe ist. Weiter muss man definieren, was 'seitwärts' bedeutet. Es könnte seitwärts zur initialen Bewegung mit fester Richtung im Raum bedeuten und seitwärts zur aktuellen Bewegung der Rakete/Sonde. Im ersten Fall fliegt die Rakete eine Parabel und im zweiten Fall einen Kreisbogen.

Zunächst zum ersten Fall mit fester Raumrichtung. Hier beträgt die Impulsänderung natürlich auch die obigen 165kNs, nur dass dies geometrisch addiert werden muss. Angenommen die Rakete/Sonde bewegt sich in X-Richtung und wird seitlich in Y-Richtung beschleunigt. Dann ist $$I_0=\begin{pmatrix} 960\text{kNs}\\0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \Delta I=\begin{pmatrix} 0\\165\text{kNs} \end{pmatrix}$$ und der finale Impuls ist $$I_{final}=I_0 + \Delta I=\begin{pmatrix} 960\text{kNs}\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\165\text{kNs} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 960\text{kNs}\\165\text{kNs} \end{pmatrix}$$ d.h. $$|I_{final}|= \sqrt{960^2+165^2}\text{kNs}\approx 974,08 \text{kNs}$$ damit ist in diesem Fall die Änderung des Betrags $$|I_{final}|-|I_0| \approx 14,08\text{kNs}$$

Im Falle, dass der Schub stets seitwärts zur aktuellen Bewegungsrichtung der Rakete/Sonde ausgerichtet ist, fliegt diese auf einer Kreisbahn und ändert auch ihre absolute Geschwindigkeit nicht. Folglich bleibt der Betrag ihres Impulses konstant und die Impulsbetragsänderung ist =0.

zu (b) ja - Du kannst einfach die Werte der Energien von einander abziehen. Die Energie ist eine ungerichtete Größe, folglich ist der Wert auch der Betrag.

Im Falle der seitlichen Bewegung mit fester Raumrichtung der Schubrichtung musst Du die Geschwindigkeiten wieder geometrisch addieren oder alternativ kann man den finalen Betrag der Geschwindigkeit direkt aus dem finalen Betrag des Impulses berechnen.

Gruß Werner