Variationsrechnung: Was ist die physikalische Interpretation der einzelnen Summanden in L?

Question

Aufgabe:

Die frustrierte Liebespaar Romeo und Julia haben Sie ja in der ersten Aufgabe kennengelernt. Die beiden haben sich zum plaudern verabredet, doch Romeo erscheint nicht auf seinem Balkon. Julia nimmt also einen langen Stock und will damit über die Gasse hinweg an Romeos Fenster klopfen.

Der Stock sei beschrieben durch die Funktion \( z(x) \) mit zugehöriger Lagrangedichte \( \mathcal{L} \)

\( \mathcal{L}=\frac{\mu}{2} \dot{z}^{2}-\frac{\kappa}{2} z^{\prime \prime 2}+z f(x, t) . \)

Die Funktion \( f(x, t) \) sei vorgegeben.

a) Was ist die physikalische Interpretation der einzelnen Summanden in \( \mathcal{L} \) ?

b) In der Vorlesung wurde die Funktionalableitung nur für Funktionale mit Ableitungen erster Ordnung hergeleitet. Hier tritt jedoch ein Term mit zweifacher Ableitung \( \left(z^{\prime \prime}\right) \) auf. Betrachten Sie eine Variation \( z \rightarrow z+\delta z \) und zeigen Sie, dass die Variation der Wirkung \( \delta S=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{~d} t \int \limits_{x_{R}}^{x_{J}} \mathrm{~d} x \delta \mathcal{L} \) geschrieben werden kann als
\( \delta S=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{~d} t \int \limits_{x_{R}}^{x_{J}} \mathrm{~d} x\left(-\ddot{z}-z^{\prime \prime \prime \prime}+f\right) \delta z+\left.\int \limits_{x_{R}}^{x_{J}} \mathrm{~d} x \dot{z} \delta z\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}+\left.\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{~d} t\left(z^{\prime \prime \prime} \delta z-z^{\prime \prime} \delta z^{\prime}\right)\right|_{x_{R}} ^{x_{J}} \)

c) Wie lautet die Differentialgleichung, welche den Stock \( z(x, t) \) beschreibt? Welche Randbedingungen ergeben sich?
Betrachten Sie anschließend den stationären Fall im Schwerefeld \( (f=-\mu g, z=z(x)) \). Was ist die physikalische Interpretation von \( \delta S=0 \) ? Wie lautet die DGL zur Bestimmung von \( z(x) \) ?

d) Julia hält den Stock nun in vollkommener Ruhe, sodass er Romeos Balkon berührt, d.h. der Stock erfüllt \( z\left(x_{R}\right)=z\left(x_{J}\right)=0 \) Lösen Sie die Differentialgleichung und skizzieren Sie die Lösung. Drücken Sie die Entfernung \( x \) in Einheiten der Gesamtentfernung \( L \) aus, d.h. \( x=L \bar{x} \). Wie skaliert die maximale Höhe mit \( L \) ?

Nachtrag:

Oben ist ein Druckfehler. Es heißt eigentlich:

\( \delta S=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{~d} t \int \limits_{x_{R}}^{x_{J}} \mathrm{~d} x\left(-\mu \ddot{z}-\kappa z^{\prime \prime \prime \prime}+f\right) \delta z+\left.\int \limits_{x_{R}}^{x_{J}} \mathrm{~d} x \mu \dot{z} \delta z\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}+\left.\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{~d} t \kappa\left(z^{\prime \prime \prime} \delta z-z^{\prime \prime} \delta z^{\prime}\right)\right|_{x_{R}} ^{x_{J}} \)

Comments

Was hast du dir den schon für Gedanken gemacht? Tipp: die beiden hinteren Summanden sind Randterme, die durch partielle Integration entstehen.

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ich habe mir das hier durchgelesen, weil das in etwa das ist was in der Vorlesung gemacht wurde, nur etwas ausführlicher:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/lagrange/node24.html

Dann habe ich für alle z den Ausdruck z+dz eingesetz und die Klammern ausmultipliziert.

Dann habe ich ein wenig umgeformt und gesehen das ich so niemals auf die gesuchte Gleichung komme

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Naja, die Bewegungsgleichung folgt ja aus der Bedingung, dass dir Variation der Wirkung verschwindet, δS=0, steht also quasi schon da:

Die Variation muss ja für alle δz verschwinden und das ist genau dann der Fall, wenn der Term in Klammern im ersten Integral = 0 ist (das ist die gesuchte Bewegungs-/ Differentialgleichung) unter der Bedingung, dass die Randterme = 0 sind (die beiden hinteren Terme).

Der zweite Teil der Aufgabe spezifiziert das bloß für eine konkrete Funktion.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Physikalische Interpretation der einzelnen Summanden in \( \mathcal{L} \)

Die Lagrangedichte \( \mathcal{L}=\frac{\mu}{2} \dot{z}^{2}-\frac{\kappa}{2} z^{\prime \prime 2}+z f(x, t) \) besteht aus drei Termen, die jeweils eine physikalische Bedeutung haben:

- \( \frac{\mu}{2} \dot{z}^{2} \) ist die kinetische Energie pro Längeneinheit des Stocks, wobei \( \mu \) die lineare Massendichte des Stocks und \( \dot{z} \) die zeitliche Ableitung von \( z \), also die Geschwindigkeit des Stocks in der z-Richtung repräsentiert. Dieser Term beschreibt, wie viel Energie durch die Bewegung des Stocks entlang seiner Länge gespeichert wird.

- \( \frac{\kappa}{2} z^{\prime \prime 2} \) steht für die elastische potenzielle Energie pro Längeneinheit aufgrund der Krümmung des Stocks, wobei \( \kappa \) der Biegesteifigkeitskoeffizient des Materials ist und \( z^{\prime \prime} \) die zweite räumliche Ableitung von \( z \), d.h., die Krümmung des Stocks. Dieser Term quantifiziert die Energie, die benötigt wird, um den Stock zu biegen.

- \( z f(x, t) \) repräsentiert eine äußere Kraft pro Längeneinheit, die auf den Stock wirkt, wobei \( f(x, t) \) die räumlich und zeitlich variierende Kraftdichte ist. Dieser Term beschreibt die Arbeit, die durch äußere Kräfte (z.B. Schwerkraft, Wind) auf den Stock ausgeübt wird.

b) Variation der Wirkung \( \delta S \)

Die Variation \( \delta S \) aufgrund der Variation \( z \rightarrow z+\delta z \) lässt sich berechnen, indem wir die Variation von \( \mathcal{L} \) bestimmen. Wir gehen dabei schrittweise vor und berechnen die Variation jedes Terms in \( \mathcal{L} \) mit Bezug auf \( \delta z \).

1. Variation des kinetischen Energieterms: Da \( \delta(\dot{z}^2) = 2\dot{z}\delta\dot{z} \) und mit partieller Integration lässt sich die Variation in ein Randterm umwandeln, der abhängig von der Variation \( \delta z \) und seiner zeitlichen Änderung ist.

2. Variation des Potenzialenergieterms: Analog wird für die zweite Ableitung von \( z \) verfahren. Mit \( \delta(z^{\prime\prime2}) = 2z^{\prime\prime}\delta z^{\prime\prime} \), und unter Anwendung partieller Integration zweimal, transformieren wir diesen Teil der Variation in Terme, die von \( z^{\prime\prime\prime\prime} \) und den Randbedingungen abhängen.

Durch Einsetzen und Berücksichtigung der Randbedingungen folgt die angegebene Form für \( \delta S \). Die korrekten Faktoren \( \mu \) und \( \kappa \) sowie die Funktion \( f(x, t) \) müssen in den entsprechenden Termen berücksichtigt werden, um die Variation der Lagrangedichte korrekt zu beschreiben.

c) Differentialgleichung und Randbedingungen

Aus \( \delta S=0 \) folgt die Euler-Lagrange-Gleichung für das System:

\( -\mu \ddot{z}-\kappa z^{\prime \prime \prime \prime}+f=0 \)

Für den stationären Fall im Schwerefeld mit \( f=-\mu g \) (und ohne zeitliche Abhängigkeit, \( \ddot{z}=0 \)) reduziert sich die Gleichung zu:

\( -\kappa z^{\prime \prime \prime \prime} -\mu g=0 \)

Die physikalische Interpretation von \( \delta S=0 \) in diesem Kontext ist, dass sich der Stock in einem Zustand befindet, in dem keine weitere virtuelle Arbeit durch infinitesimale virtuelle Verschiebungen geleistet werden kann, was einem Gleichgewichtszustand entspricht.

d) Lösung der Differentialgleichung

Für den stationären Fall und unter Annahme von \( f=-\mu g \), integrieren wir viermal und erhalten eine Gleichung für \( z(x) \). Unter Berücksichtigung der Randbedingungen \( z(x_R) = z(x_J) = 0 \) erhalten wir eine spezifische Lösung für \( z(x) \), welche die Form des Stocks beschreibt. Typischerweise führt dies auf Funktionen, deren Form von den jeweiligen Randbedingungen und den physikalischen Parametern wie der Biegesteifigkeit \( \kappa \) und der einwirkenden Schwerkraft abhängt. Da die genaue Form der Lösung und die Skalierung von der spezifischen Form der Differentialgleichung und den Randbedingungen abhängen, müsste für eine präzise Antwort die Differentialgleichung explizit gelöst werden, was hier ohne spezifische Werte für die Randbedingungen und physikalische Parameter nicht direkt möglich ist.