Antwort mit KI erzeugt
Bildpositionen und -größen
Um die Fragen zu beantworten, analysieren wir das System in zwei Schritten: Erst den Beitrag der Linse und dann den Effekt des Spiegels, insbesondere für das zweite Bild.
Schritt 1: Bild durch die Linse
Gegeben ist eine Sammellinse mit einer Brennweite von \(f_L = +60\) cm und ein Gegenstand, der sich 50 cm von der Linse entfernt befindet. Die Gegenstandsweite \(g\) ist also 50 cm. Wir benutzen die Linsengleichung, um die Bildweite \(b_L\) zu finden:
\(
\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}
\)
Umgestellt nach \(b\), erhalten wir:
\(
b_L = \frac{1}{\left(\frac{1}{f_L} - \frac{1}{g}\right)}
\)
Einsetzen der Werte:
\(
b_L = \frac{1}{\left(\frac{1}{60} - \frac{1}{50}\right)} = \frac{1}{\left(\frac{50 - 60}{3000}\right)} = \frac{3000}{-10} = -300 \text{ cm}
\)
Das Minuszeichen bedeutet, dass das Bild auf der gleichen Seite der Linse wie der Gegenstand erzeugt wird, was physikalisch nicht möglich ist und uns zeigt, dass das Bild virtuell ist und hinter dem Betrachter liegt, wenn man in die ursprüngliche Richtung blickt.
Für die Vergrößerung \(V_L\) der Linse gilt:
\(
V_L = \frac{b_L}{g} = \frac{-300}{50} = -6
\)
Das bedeutet, das Bild ist 6-mal so groß wie der Gegenstand, aber umgekehrt.
Schritt 2: Bild durch den Spiegel
Der Spiegel hat einen Krümmungsradius von \(R_S = +60\) cm, daher ist seine Brennweite \(f_S = R_S / 2 = +30\) cm. Das von der Linse erzeugte virtuelle Bild dient als virtueller Gegenstand für den Spiegel. Das Bild durch die Linse befindet sich effektiv \(300\) cm hinter der Linse, zusätzlich zu den \(50\) cm vom Spiegel entfernt, was \(350\) cm vom Spiegel als virtuelle Gegenstandsweite (\(g_S\)) ergibt.
Unter Verwendung der Spiegelformel:
\(
\frac{1}{f_S} = \frac{1}{b_S} + \frac{1}{g_S}
\)
Umgestellt nach \(b_S\), erhalten wir:
\(
b_S = \frac{1}{\left(\frac{1}{f_S} - \frac{1}{g_S}\right)}
\)
Einsetzen der Werte:
\(
b_S = \frac{1}{\left(\frac{1}{30} - \frac{1}{350}\right)} = \frac{1}{\left(\frac{350 - 30}{10500}\right)} = \frac{10500}{320} = 32.81 \text{ cm}
\)
Das positive Ergebnis zeigt, dass das Bild vor dem Spiegel und damit real ist.
Die Vergrößerung durch den Spiegel \(V_S\) ist:
\(
V_S = \frac{b_S}{g_S} = \frac{32.81}{350} \approx 0.094
\)
Das Gesamtbild ergibt sich durch Multiplikation der Vergrößerungen:
\(
V_{\text{gesamt}} = V_L \cdot V_S = -6 \cdot 0.094 \approx -0.564
\)
Ergebnisse:
- Das erste (direkte) Bild durch die Linse ist virtuell, 300 cm hinter der Linse, und sechsmal so groß wie der Gegenstand.
- Das zweite Bild, das durch die Reflexion im Spiegel entsteht und dann durch die Linse gesehen wird, ist real, befindet sich 32.81 cm vor dem Spiegel, und ist etwa \(0.564\)-mal so klein wie der ursprüngliche Gegenstand.
Größeres Bild für den Beobachter:
Der Beobachter, der das Auge direkt an die Linse hält, sieht das virtuelle Bild als größer, da die Vergrößerung absolut genommen größer ist. Die direkte Vergrößerung durch die Linse ist -6, was bedeutet, dass das Bild sechsmal so groß ist wie der Gegenstand, wohingegen das durch den Spiegel reflektierte Bild letztendlich kleiner ist als der ursprüngliche Gegenstand.
