Poissongleichung für eine homogen geladene Kuge

Question

Hallo ich hänge bei dieser Aufgabe....

zu a) ich glaub dass das umschreiben von Laplaceoperator nicht wörtlich nehmen ist oder ??? reicht es wirklich schon ?

wäre ja dann:

Δ = ∂²/ ∂x² +  ∂²/ ∂y² + ∂²/ ∂z²  (Laplace)

Kugelkoordinaten: Δ = 1/r² * ∂/∂r (r² * ∂/∂r) + 1/r ² sin ϑ * ∂/∂ ϑ (sin ϑ ∂/∂ ϑ) + 1/r ² sin²ϑ * ∂²/∂ φ ²

sehe aber aber keine Symmetrie zur Angabe! Muss dazu die Angabe auch in kugelkoordinaten angeschrieben werden??

zu b) komm ich auf das el Feld innen und außen wieder mit Gauß???

Lg und Danke!!

Answer 1

Hallo,

bei Aufgabe a) reicht die Angabe des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten:

Δ=1/r^2*d/dr (r^2*d/dr) +Δ_φ,θ 

Mit Δ_φ,θ meine ich die gesamten winkelabhängigen Terme.

Da die Kugelhomogen geladen ist, lautet die Ladungsverteilung:  ρ(r)=ρ₀*Θ(R-r)

Θ(R-r) ist die Heaviside Funktion, diese sorgt dafür, das die Ladungsdichte nur im inneren der Kugel vorhanden ist.

Da  ρ(r)=ρ₀*Θ(R-r) unabhängig von φ,θ ist, kann man den winkelabhängigen Teil des Laplace-Operators weglassen.

Δ=1/r^2*d/dr (r^2*d/dr)

b) Als Poisson-Gleichung ergibt sich

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ_0*Θ(R-r)

Fallunterscheidung: r<R -->

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ₀

d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ₀*r^2 beide Seiten integrieren

r^2*d/dr Φ(r)=-4/3*π*ρ₀*r^3+C

d/dr Φ(r)=-4/3*π*ρ₀*r+C/r^2 wieder Integrieren

Φ(r)=-2/3*π*ρ₀*r^2-C/r+D

Da aber im Ursprung (r=0) keine Singularität auftreten darf, folgt C=0

Φ_i(r)=-2/3*π*ρ₀*r^2+D

2.Fall: r>R Laplace-Gleichung

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=0

d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=0

r^2*d/dr Φ(r)=G

d/dr Φ(r)=G/r^2

Φ(r))=-G/r+H

Für r-->∞ sollte das Potential verschwinden (also 0 werden) -->H=0

Φ_a(r))=-G/r

Berechnung des E-Felds:

innen E_i(r)=-grad Φ_i(r)=-d/dr Φ_i(r)*e_r=-4/3*π*ρ₀*r*e_r

außen E_a(r)=-grad Φ_a(r)=-d/drΦ_a(r)*e_r=G/r^2*e_r

Das E-Feld soll für r=R stetig sein

-->E_i(R)=E_a(R)

-4/3*π*ρ₀*R=G/R^2

--> G=-4/3*π*ρ₀/R=G

PS: Welches EInheitensystem verwendet ihr? Normalerweise lautet die Poisson-Gleichung in SI

ΔΦ=-ρ/ε₀

Comments

Hallo, habe vergesen dir zurückzuschreiben! Sorry!!

bin das alles nochmal mit meinem Prof durchgegangen, deine Herleitung passt perfeckt! Er meinte mehr müssen wir erstmal nicht wissen!!

Vielen Dank!!