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Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
Das elektrische Feld \( \vec{E}(\vec{r}) \) einer homogen geladenen Kugel mit Radius \( R \) und einer Gesamtladung \( Q \) ist gegeben durch:
\( \vec{E}(\vec{r}) =
\begin{cases}
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \vec{r} & \text{für } r \leq R \\
\end{cases}
\)
Dabei ist \( \epsilon_0 \) die elektrische Feldkonstante, \( \epsilon \) die relative Dielektrizitätskonstante, und \( \vec{r} \) die Position im Raum bezüglich des Zentrums der Kugel.
Teil (a): Zeigen, dass das elektrische Feld nicht quellenfrei ist
Ein elektrisches Feld ist quellenfrei, wenn seine Divergenz überall im Raum Null ist.
Die Divergenz von \( \vec{E} \) ist gegeben durch:
\( \nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} r \right) \)
\( = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \frac{\partial}{\partial r} (r^3) \)
\( = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} 3r^2 \)
Da \( r^2 \) nicht überall Null ist (außer am Ursprung), zeigt dies, dass \( \vec{E} \) innerhalb der Kugel (für \( r \leq R \)) nicht quellenfrei ist.
Teil (b): Berechnen des Oberflächenintegrals \( \int \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{F} \)
Für eine Kugel mit Radius \( \rho \) um den Ursprung ist das Oberflächenintegral des elektrischen Feldes gegeben durch:
\( \int \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{F} = \int \left(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \vec{r}\right) \cdot d\vec{F} \)
Hierbei ist \( d\vec{F} = \rho^2 \sin(\theta) d\theta d\phi \hat{r} \), wobei \( \hat{r} \) der Einheitsvektor in radiale Richtung ist.
Das Integral vereinfacht sich zu:
\( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \int \rho^2 \hat{r} \cdot \hat{r} \rho^2 \sin(\theta) d\theta d\phi \)
\( = \frac{Q\rho^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \int_0^{\pi} \sin(\theta) d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \)
\( = \frac{Q\rho^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} \cdot 2\pi \cdot 2 \)
\( = \frac{Q\rho^2}{\epsilon_0\epsilon R^3} \)
Teil (c): Verifizierung des Gaußschen Integralsatzes
Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Oberflächenintegral des elektrischen Feldes über eine geschlossene Oberfläche gleich ist dem Volumenintegral über die Divergenz von \( \vec{E} \) innerhalb dieser Oberfläche, multipliziert mit der elektrischen Feldkonstante \( \epsilon_0 \).
\( \int \vec{E} \cdot d\vec{F} = \epsilon_0 \epsilon \int (\nabla \cdot \vec{E}) dV \)
Wir haben bereits \( \nabla \cdot \vec{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} 3r^2 \) gefunden. Daher ist das Volumenintegral:
\( \epsilon_0\epsilon \int (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} 3r^2) dV = \epsilon_0\epsilon \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon R^3} 3 \int_0^{\rho} r^2 \cdot 4\pi r^2 dr \)
\( =3Q \int_0^{\rho} r^2 dr \)
\( =Q\frac{\rho^3}{R^3} \)
Da das Ergebnis des Oberflächenintegrals \( \frac{Q\rho^2}{\epsilon_0\epsilon R^3} \) ist, zeigt dies die Gültigkeit des Gaußschen Integralsatzes in diesem Kontext nicht direkt, da die Berechnungen der Divergenz und die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes weitere Überlegungen erfordern, vor allem hinsichtlich der korrekten Anwendung von Grenzen im Kontext der gegebenen Aufgabenstellung. Es scheint hier ein Fehler in der Ausführung zu liegen, da die direkte Überprüfung des Gaußschen Satzes über die gegebene Gleichung für \( \vec{E} \) und dessen Divergenz genauer betrachtet und angewendet werden sollte, um die Konsistenz zu überprüfen.
