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1. Berechnung der Kapazität des Kondensators
Da die beiden Dielektrika in Reihe angeordnet sind, addieren sich ihre elektrischen Felder, während die Gesamtladung konstant bleibt. Die Gesamtkapazität \(C_{ges}\) einer Reihenschaltung von zwei Kondensatoren kann durch die folgende Formel bestimmt werden:
\(
\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
\)
Die Kapazität eines einzelnen Kondensators ist gegeben durch:
\(
C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d}
\)
wo \(d\) die Dicke des Dielektrikums, \(A\) die Fläche der Platten, \(\epsilon_0\) die elektrische Feldkonstante (\(\epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \, \frac{F}{m}\)) und \(\epsilon_r\) die relative Dielektrizitätszahl ist.
Für jeden der beiden Kondensatoren gilt also:
\(
C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r, 1} A}{d_1} \quad \text{und} \quad C_2 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r, 2} A}{d_2}
\)
Setzen wir diese Werte in die Formel für die Gesamtkapazität ein, erhalten wir:
\(
\frac{1}{C_{ges}} = \frac{d_1}{\epsilon_0 \epsilon_{r, 1} A} + \frac{d_2}{\epsilon_0 \epsilon_{r, 2} A}
\)
Daraus folgt für \(C_{ges}\):
\(
C_{ges} = \frac{1}{\frac{d_1}{\epsilon_0 \epsilon_{r, 1} A} + \frac{d_2}{\epsilon_0 \epsilon_{r, 2} A}}
\)
2. Kapazität für gegebene Werte
Given values:
- \(\epsilon_{r, 1}=3\)
- \(\epsilon_{r, 2}=2\)
- \(d_{1}=30 \mu \mathrm{m} = 30 \times 10^{-6} \, \mathrm{m}\)
- \(d_{2}=20 \mu \mathrm{m} = 20 \times 10^{-6} \, \mathrm{m}\)
- \(A=10 \mathrm{~mm}^{2} = 10 \times 10^{-6} \, \mathrm{m}^2\)
Einsetzen der Werte:
\(
C_{ges} = \frac{1}{\frac{30 \times 10^{-6}}{8,85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10 \times 10^{-6}} + \frac{20 \times 10^{-6}}{8,85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10 \times 10^{-6}}}
\)
\(
C_{ges} = \frac{1}{\frac{30}{8,85 \times 3} + \frac{20}{8,85 \times 2}} \times 10^{-12} \, F
\)
\(
C_{ges} = \frac{1}{\frac{10}{8,85} + \frac{10}{8,85}} \times 10^{-12} \, F = \frac{8,85}{20} \times 10^{-12} \, F = 0,4425 \times 10^{-12} F = 442,5 \, pF
\)
3. Ladung auf dem Kondensator
Die Ladung \(Q\) auf einem Kondensator ist gegeben durch:
\(
Q = C \times U
\)
Mit \(C_{ges} = 442,5 \, pF = 442,5 \times 10^{-12}\, F\) und \(U = 1000 \, V\):
\(
Q = 442,5 \times 10^{-12} \times 1000 \, F \times V = 442,5 \times 10^{-9} \, C = 442,5 \, nC
\)
4. Elektrische Feldstärke in den beiden Dielektrika
Die elektrische Feldstärke \(E\) im Dielektrikum eines Kondensators ist gegeben durch:
\(
E = \frac{U}{d}
\)
Da die Gesamtspannung \(U\) über beide Dielektrika aufgeteilt wird, müssen wir die Spannung über jedem Dielektrikum einzeln berechnen. Dies kann durch die Verwendung der Beziehung \(U = E \times d\) und die Kenntnis, dass das Produkt aus Feldstärke und Distanz konstant bleibt, erfolgen:
Für Dielektrikum 1:
\(
U_1 = E_1 \times d_1
\)
Für Dielektrikum 2:
\(
U_2 = E_2 \times d_2
\)
Da die Gesamtspannung \(U = U_1 + U_2\) ist und \(U_1\), \(U_2\) durch ihre jeweiligen Feldstärken und Dicken ausgedrückt werden können, sind die Feldstärken in den Dielektrika abhängig von den oben berechneten Spannungen über den Dielektrika, welche ohne konkrete Werte für die jeweiligen dielektrischen Materialien oder ohne die Angabe der Spannungsverteilung nicht direkt berechnet werden können. Generell jedoch gilt, dass die Feldstärke in einem Material mit einer größeren Dielektrizitätskonstante geringer ist, da die Spannung im Verhältnis zur Dicke steht.
