Warum gilt bei der folgenden Aufgabe, das die Dichte des Wassers gleich gross ist wie die Dichte des Zylinders?

Question

Hall

Warum gilt bei der folgenden Aufgabe, das die Dichte des Wassers gleich gross ist wie die Dichte des Zylinders?

Aufgabe: Eine zylindrische Dose der Masse m und der Höhe h ist  mit Wasser gefüllt. Die Anfangsmasse des Wassers ist ebenfalls m. Jetzt wird ein Loch in den Boden geschlagen, und das Wasser tropft heraus.

a) In welcher Höhe liegt der Masenmittelpunkt der wassergefüllten Dose. Wenn der Wasserspiegel dei Höhe x hat.

b) Welche Höhe unterschreitet der Massenmittelpunkt nicht, wenn das Wasser herausläuft?

Meine Idee:

a)Da die beiden Massen gleichgross sind gilt einfach: x_s= (m*x+m*h)/2m = (x+h)/2.

b) (x_s) muss abgeleitet und  gesetzt 0 werden. Nach was muss aber abgeleitet werden? Nach x oder h?

Danke

Answer 1

a)

Die Massen sind doch nur am Anfang gleich groß. Wenn Wasser raus läuft verringert sich auch die Masse des Wassers.

Ich komme auf Sx = (x^2 + h^2) / (2·(x + h))

b)

h ist ja konstant und damit ist x die einzige Variable nach der abzuleiten ist.

Sx' = (x^2 + 2·h·x - h^2)/(2·(x + h)^2) = 0

x = 0.4142·h

Sx = ((h·(√2 - 1))^2 + h^2)/(2·(h·(√2 - 1) + h)) = 0.4142·h

Das kommt mir jetzt sehr suspekt vor. Das bedeutet der Niedrigste Schwerpunkt wird bei ca. 41% der Füllhöhe erreicht. Dabei liegt der Schwerpunkt dann genau in Höhe der Füllhöhe.

Comments

Danke, wie kommst Du auf  (x² + h²) / (2·(x + h))?

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Ich hatte das wie folgt notiert:

Sx = (m·(h/2) + (m·(x/h))·(x/2)) / (m + m·(x/h))

Und das dann vereinfacht.