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Taylorentwicklung 2. Ordnung im Raum
Um zu verstehen, warum bei der Taylorentwicklung 2. Ordnung im räumlichen Fall der Ausdruck \((1/2) \cdot (a \cdot \nabla)^2 \cdot f(\mathbf{x})\) und nicht \((1/2) \cdot a^2 \cdot \nabla^2 \cdot f(\mathbf{x})\) verwendet wird, müssen wir uns zunächst klar machen, was diese Ausdrücke bedeuten und wie sie sich unterscheiden.
Für eine Funktion \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) lässt sich die Taylorentwicklung um einen Punkt \(\mathbf{x}_0\) allgemein formulieren als:
\(f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^T \cdot H_f(\mathbf{x}_0) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \mathcal{O}(\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\|^3),\)
wobei \(H_f(\mathbf{x}_0)\) die Hesse-Matrix von \(f\) am Punkt \(\mathbf{x}_0\) ist.
In der Frage sind zwei Terme zur Diskussion gestellt:
1. \((1/2) \cdot (a \cdot \nabla)^2 \cdot f(\mathbf{x})\)
2. \((1/2) \cdot a^2 \cdot \nabla^2 \cdot f(\mathbf{x})\)
Der erste Ausdruck \((1/2) \cdot (a \cdot \nabla)^2 \cdot f(\mathbf{x})\) beschreibt die zweite Ordnung der Taylorentwicklung, wobei hier \(a \cdot \nabla\) eine Richtungsableitung in Richtung eines Vektors \(a\) darstellt. Die Anwendung dieses Operators zweimal entspricht der zweifachen Anwendung der Richtungsableitung, die insbesondere die Krümmung der Funktion in Richtung \(a\) misst.
Der zweite Ausdruck \((1/2) \cdot a^2 \cdot \nabla^2 \cdot f(\mathbf{x})\) sieht auf den ersten Blick ähnlich aus, jedoch ist hier \(a^2\) ein Faktor, der mit dem Laplace-Operator \(\nabla^2\), der die Summe der zweiten partiellen Ableitungen darstellt (und ein Maß für die Krümmung der Funktion in allen räumlichen Richtungen ist), multipliziert wird. Dieser Term legt nahe, dass \(a^2\) einfach die Skalierung des Effekts des Laplace-Operators ist.
Warum sind diese Terme unterschiedlich?
Der Hauptgrund liegt im Wesen der beiden Operationen:
- \((a \cdot \nabla)^2\) wendet die Richtungsableitung zweimal spezifisch in Richtung \(a\) an. Die Richtung von \(a\) spielt also eine wichtige Rolle. Diese Operation berücksichtigt die Richtungsabhängigkeit der Krümmung.
- \(a^2 \cdot \nabla^2\) skaliert hingegen die Anwendung des Laplace-Operators um den Faktor \(a^2\), ohne auf eine spezifische Richtung Bezug zu nehmen. Dies missachtet die Richtungsabhängigkeit und betrachtet nur die isotrope (richtungsunabhängige) Krümmung der Funktion.
Um zu beweisen, dass sie nicht dasselbe sind, betrachten wir ein Beispiel:
Eine Funktion \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) und ein Vektor \(a\) in eine spezifische Richtung. Wenn \(a\) in die Richtung des stärksten Anstiegs von \(f\) zeigt (Gradient von \(f\)), dann wird \((a \cdot \nabla)^2 f(\mathbf{x})\) eine größere Änderung (Krümmung) messen im Vergleich zu einer beliebigen Richtung. Der Wert von \((a \cdot \nabla)^2 f(\mathbf{x})\) hängt also stark von der Wahl von \(a\) ab.
Hingegen misst \(a^2 \cdot \nabla^2 f(\mathbf{x})\) die Änderung in allen Richtungen gleich und skaliert sie mit \(a^2\), ohne die spezifische Richtungsinformation, die \(a\) beinhaltet, zu verwenden.
Zusammenfassend, die Unterscheidung zwischen den beiden Termen liegt in ihrer Behandlung der Richtungsabhängigkeit der Krümmung einer Funktion. Ersterer ist richtungsabhängig durch die Verwendung des Quadrats der Richtungsableitung, während der zweite isotrop ist und die richtungsabhängige Information verliert.
