Fall (a)
Das Input Signal ist \( u(t) = \cos(2t) \) und die Laplacetranformierte ist \( U(s) = \frac{s}{s^2+4} \).
Das Outputsignal ist \( y(t) = t \sin(2t) \) und die Laplacetransformierte ist \( Y(s) = \frac{ 4s }{ (s^2+4)^2 } \).
Also ist die Übertragungsfunktion des LTI Systems $$ G(s) = \frac{ Y(s) }{ U(s) } = \frac{ 4 } { s^2 + 4 } $$ D.h. das LTI im Zeitbereich sieht so aus $$ y''(t) + 4y(t) = 4 u(t) $$
Fall (b)
Wenn bei dem obigen System der Output gleich $$ y(t) = 4e - t - 4 \cos(2t) + 2 \sin(2t) $$ ist, dann gilt $$ Y(s) = \frac{4e }{s} - \frac{1}{s^2} - \frac{4s-4}{s^2+4} $$ und daraus folgt $$ U(s) = \frac{ Y(s) }{ G(s) } = s(e-1)-\frac{1}{s^2}+\frac{4e}{s}+\frac{3}{4} $$ Rücktransformation ergibt $$ u(t) = 4e-t \text{ für } t > 0 $$
