Drehmoment eines unregelmäßigen Körpers

Question

Also bei folgendem Bild im R^2 möchte ich den Drehmoment an der Drehachse des untersten Kreises berechnen. Die Position des Massenschwerpunktes (Barycenter) ist bereits berechnet. In diesem Fall haben alle Kreise dieselbe Masse, das muss aber nicht so sein.

Jetzt ist 1. die Frage, ob der Gesamtkörper nach links oder nach rechts kippt, wenn die Gravitation wirkt. Da würde ich sagen, dass er nach links kippt, wenn der Massenschwerpunkt links von der Drehachse des untersten Teilkörpers liegt und nach rechts, wenn er rechts der Drehachse des untersten Teilkörpers liegt. Liegt er genau auf der y-Achse, hat der Gesamtkörper eine stabile Lage, bewegt sich also nicht. Hört sich für mich logisch an.

Die 2. und wichtigere Frage ist, wie man nun den Drehmoment berechnet, der an dem untersten Teilkörper angreift. Die Formel ist ja

M = F * r

wobei r der Abstand von der Drehachse (in horizontaler Richtung bzw. auf der x-Achse) und F die Kraft ist, welche am Ende der Drehachse angreift.

Ich könnte ja jetzt den Abstand r als Abstand vom Barycenter zur Drehachse des untersten Körpers verwenden (könnte ich das?). Aber wie berechne ich die Kraft, welche vom Schwerpunkt nach unten zieht? Diese ist ja F = g * m = 9,81 m/s^2 * m. Aber welche Masse zählt nun? Das weiss ich nicht.

Nachtrag:

Ich meine mit unterem Teilkörper den untersten Kreis. In 3D wären das halt 4 Kugeln, die über die roten Verbindungsstücke fest miteinander verbunden sind. Intuitiv wäre in der Realität dieser gesamte Körper aus den 4 Kugeln nicht stabil, sondern würde umkippen (da alle Kugeln ja auch dieselbe Masse haben). Ich möchte nun möglichst physikalisch realistisch berechnen, wie die 4 Kugeln umfallen würden und dazu würde eben die unterste Kugel nach links rollen. Die Drehachse ist also, würde ich sagen, im Mittelpunkt der untersten Kugel / Kreis.

Comments

Der Satz von Steiner könnte hier weiterhelfen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Drehmoment Berechnung für einen unregelmäßigen Körper

Um den Drehmoment \(M\) für den unregelmäßigen Körper, der aus vier Kugeln besteht und in diesem Fall im 2D-Raum als vier Kreise dargestellt wird, zu berechnen, folgen wir dem physikalischen Prinzip, das besagt, dass \(M = F \cdot r\), wobei \(F\) die angreifende Kraft (in diesem Fall die Gewichtskraft) und \(r\) der Abstand von der Drehachse (in horizontaler Richtung) zum Angriffspunkt der Kraft ist.

Wie man entscheidet, ob der Körper kippt

Um zu bestimmen, ob der Körper nach links oder nach rechts kippt, ist deine Annahme korrekt. Wenn der Massenschwerpunkt links von der Drehachse liegt, kippt der Körper nach links. Liegt der Schwerpunkt rechts, kippt der Körper nach rechts. Ein perfekt darüber liegender Schwerpunkt würde hingegen eine stabile Lage bedeuten.

Berechnung des Drehmoments

1. Bestimmung des Abstands \(r\)

Der Abstand \(r\) ist der horizontale Abstand zwischen dem Massenschwerpunkt des gesamten Körpers und der Drehachse, die sich im Mittelpunkt des untersten Kreises befindet.

2. Bestimmung der angreifenden Kraft \(F\)

Die Kraft \(F\), die hier betrachtet wird, ist die Gewichtskraft, die am Massenschwerpunkt angreift und vertikal nach unten zeigt. Diese Kraft ist das Produkt aus der Gesamtmasse des Körpers \(m\), bestehend aus der Summe der Massen der vier Kugeln, und der Erdbeschleunigung \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\).

Angenommen alle vier Kugeln haben dieselbe Masse, ergibt sich für die Gesamtmasse \(m_{gesamt} = 4m\).

Daher ist \(F = g \cdot m_{gesamt} = 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 4m\).

3. Berechnung des Drehmoments \(M\)

Jetzt, da wir den Abstand \(r\) und die angreifende Kraft \(F\) haben, können wir das Drehmoment über die Formel \(M = F \cdot r\) berechnen.

Einsetzen der Werte gibt:

\( M = (9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 4m) \cdot r \)

Da \(m\) und \(r\) spezifische Werte benötigen, die aus dem Bild oder der konkreten Aufgabenstellung abgelesen werden müssen, zeigt diese Formel, wie das Drehmoment berechnet wird. Ohne die exakten Maße oder Massen können wir hier kein numerisches Ergebnis liefern. Die grundlegende Idee ist jedoch, den Hebelarm \(r\) mit der am Hebelarm wirkenden Gewichtskraft \(F\) zu multiplizieren, um das Drehmoment zu ermitteln, das den Körper um die Drehachse kippen lässt.