Antwort mit KI erzeugt
Amplitude ymax der Schwingung der Luftmoleküle
Zuerst lösen wir die gegebene Gleichung für die Amplitude \(y_{\text{max}}\):
\( p_{\text{max}} = 2\pi f v \rho y_{\text{max}} = 8 \cdot 10^{-5} \, \text{N/m}^2 \)
\( \rho = 1,2041 \, \text{kg/m}^3 \)
\( f = 400 \, \text{Hz} \)
\( v = 343 \, \text{m/s} \)
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:
\( 8 \cdot 10^{-5} = 2 \pi \cdot 400 \cdot 343 \cdot 1,2041 \cdot y_{\text{max}} \)
Daraus folgt:
\( y_{\text{max}} = \frac{8 \cdot 10^{-5}}{2 \pi \cdot 400 \cdot 343 \cdot 1,2041} \)
\( y_{\text{max}} = \frac{8 \cdot 10^{-5}}{2 \pi \cdot 400 \cdot 343 \cdot 1,2041} \approx 7.2 \cdot 10^{-8} \, \text{m} \)
Es scheint, dass in deiner Berechnung ein Fehler vorliegt, da das korrekte Ergebnis \(y_{\text{max}} \approx 7.2 \cdot 10^{-8} \, \text{m}\) ist, nicht \(7.7 \cdot 10^{-1}\).
Maximale Geschwindigkeit des Teilchens
Die maximale Geschwindigkeit des Teilchens erhält man, wenn die Kosinusfunktion den Wert 1 annimmt, da die Geschwindigkeit \(v(t,x)\) maximal wird, wenn \(\cos(2\pi(t/T - x/\lambda)) = 1\).
Die Gleichung zur Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit ist:
\( v_{\text{max}} = y_{\text{max}} \cdot 2\pi \cdot f \)
Einsetzen der Werte ergibt:
\( v_{\text{max}} = 7.2 \cdot 10^{-8} \cdot 2\pi \cdot 400 \)
\( v_{\text{max}} = 1.8 \cdot 10^{-4} \cdot \pi \)
\( v_{\text{max}} \approx 5.7 \cdot 10^{-4} \, \text{m/s} \)
Einheitenüberprüfung
Die Einheitenüberprüfung für die ursprüngliche Gleichung ist wie folgt:
\( \text{N/m}^2 = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2} \)
Die Gleichung \(p_{\text{max}} = 2\pi f v \rho y_{\text{max}}\) in Einheiten umgesetzt gibt:
\( \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2} = 2\pi(\frac{1}{\text{s}})(\frac{\text{m}}{\text{s}})(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3})\text{m} \)
\( = 2\pi\cdot\frac{\text{kg}}{\text{s}^2}\cdot\frac{\text{m}^2}{\text{m}^3} \)
\( = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2} \)
Die Dimensionen auf beiden Seiten der Gleichung passen zusammen, was bedeutet, dass die Einheiten korrekt verwendet wurden.
