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Lösungsansatz:
Ein Kepler-Fernrohr, auch bekannt als Astronomenteleskop, besteht aus zwei konvexen Linsen: dem Objektiv mit einer längeren Brennweite \( f_{1} \) und dem Okular mit einer kürzeren Brennweite \( f_{2} \). Normalerweise ist das Fernrohr so konstruiert, dass es weit entfernte Gegenstände vergrößert. Wenn jedoch das Fernrohr verkehrt herum gehalten wird, werden die Rollen der beiden Linsen vertauscht.
Im gegebenen Szenario haben wir:
- Objektivbrennweite (wenn verkehrt herum verwendet): \( f_{2} = 5,0 \, \text{cm} \)
- Okularbrennweite (wenn verkehrt herum verwendet): \( f_{1} = 45,0 \, \text{cm} \)
- Abstand des Objekts vom Okular: \( D = 50,0 \, \text{cm} \), wobei das Okular nun die Linse mit der größeren Brennweite ist.
Um zu bestimmen, was das Auge sieht, müssen wir die effektive Brennweite des Systems und die Position des entstehenden Bildes bestimmen.
1. Bildposition bestimmen (verwendet als Objektiv):
Da das Objekt \(50,0 \, \text{cm}\) vom „Okular“ steht, welches nun als Objektiv dient, mit einer Brennweite von \(45,0 \, \text{cm}\), nutzen wir die Linsengleichung, um die Bildposition \(b\) zu finden:
\(
\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{D}
\)
\(
\frac{1}{45,0} = \frac{1}{b} + \frac{1}{50,0}
\)
Lösen dieser Gleichung nach \(b\) ergibt:
\(
\frac{1}{b} = \frac{1}{45} - \frac{1}{50} = \frac{50 - 45}{45 \times 50} = \frac{5}{2250}
\)
\(
b = \frac{2250}{5} = 450,0 \, \text{cm}
\)
Das Bild, welches durch die als Objektiv fungierende Linse erzeugt wird, befindet sich 450,0 cm von dieser Linse entfernt auf der anderen Seite.
2. Effekt des Okulars:
Da das Fernrohr so eingestellt ist, dass die Brennpunkte zusammenfallen, würde das „Objekt“ für das Okular (ursprünglich das Objektiv mit einer Brennweite von \(f_{1} = 45,0 \, \text{cm}\)) im Unendlichen liegen, da das reelle Bild aus dem ersten Schritt theoretisch im Brennpunkt des Okulars liegt. In der Praxis bedeutet das, dass der Betrachter ein vergrößertes, umgekehrtes Bild sieht, das scheinbar im Unendlichen liegt, wenn das Auge direkt hinter dem ursprünglich als Okular dienenden Objektiv positioniert ist.
Vergrößerung:
Die Vergrößerung eines umgekehrt gehaltenen Kepler-Fernrohrs ist das Verhältnis der Brennweiten der beiden Linsen \( V = \frac{f_{1}}{f_{2}} \). In diesem Fall:
\(
V = \frac{45,0}{5,0} = 9
\)
Das Ergebnis ist eine 9-fache Vergrößerung des betrachteten Objekts.
Zusammenfassung:
Wenn man durch ein verkehrt herum gehaltenes Kepler-Fernrohr schaut, sieht man ein umgekehrtes, 9-fach vergrößertes Bild des Objekts, das scheinbar im Unendlichen liegt.
