Wie leite ich die Bewegungsgleichung her?

Question

Aufgabe:

Der skizzierte Schwinger besteht aus einer homogenen Kreisscheibe der Masse M, die an einer Feder hängt. Über die Scheibe ist ein undehnbares Seil gelegt, welches an einem Ende befestigt ist und am anderen die Masse m trägt. Gegeben: m = 2 kg, M = 5 kg, r = 75 mm, c = 5 N/mm

a) Leiten Sie die Bewegungsgleichung her.

b) Bestimmen Sie Winkelgeschwindigkeit, Schwingungsdauer und Frequenz des schwingenden Systems.

c) Berechnen Sie die statische Auslenkung der Feder

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich um b) und c) zu berechnen, a) die Bewegungsgleichung herleiten muss. Ich weiß aber nicht wie ich diese herleiten soll.

Answer 1

Am einfachsten erhält man die Bewegungsgleichung, wenn man die Lagrange-Funktion aufstellt und dann die Euler-Lagrage-Gleichung verwendet.

Wenn y die Koordinate der Scheibenachse bezeichnet, sollte die Lagrange-Funktion etwa so aussehen:

$$L=\frac{1}{2}M\dot{y}^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{\dot{y}}{r}\right)^2+2m\dot{y}^2-\frac{1}{2}c(y-y_0)^2-Mgy-2mgy$$

Eine andere Möglichkeit ist, dass Du 3 Gleichungen aufstellst  - eine für die Translation der Scheibe, eine für die Rotation der Scheibe und eine für die Masse m:

$$M\ddot{y}=-c(y-y_0)-Mg-F_\mathrm{S1}-F_\mathrm{S2}$$

$$I\ddot{\omega}=-I\frac{\ddot{y}}{r}=(F_\mathrm{S2}-F_\mathrm{S1})r$$

$$m\ddot{y}_2=2m\ddot{y}=-mg+F_\mathrm{S2}$$

(y2 bezeichnet die Koordinate der Masse m, FS1 und FS2 sind die linke bzw. die rechte Seilkraft). Nun die Seilkräfte eliminieren. In beiden Fällen ergibt sich die gleiche Bewegungsgleichung.