Formel für die Gesamtenergie auf Ellipsenbahnen herleiten

Question

Aufgabe Gesamtenergie auf Ellipsenbahnen:

Ziel ist es, die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Ellipsenbahn herzuleiten.

a) Nach dem 2. Kepler'schen Gesetz überstreicht die Verbindungslinie zur Sonne in einem Zeitintervall \( \mathrm{d} t \) überall den gleichen Flächeninhalt. In Perihel und Aphel werden rechtwinklige Dreiecke überstrichen und es gilt:
\( \frac{1}{2} \cdot r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}} \cdot \mathrm{d} t= \)

b) Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie und ist erhalten. Insbesondere ist sie in Perihel und Aphel gleich gross:
\( \frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2}-G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}}= \)

c) Diese Gleichung enthält bei einer gegebenen Ellipsenbahn die beiden Unbekannten \( v_{\mathrm{P}} \) und \( v_{\mathrm{A}} \). Mithilfe von \( r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}}=r_{\mathrm{A}} \cdot v_{\mathrm{A}} \) aus a) lässt \( \operatorname{sich} v_{\mathrm{A}} \) eliminieren und \( v_{\mathrm{P}}^{2} \) finden. Verwenden Sie \( 2 a=r_{\mathrm{P}}+r_{\mathrm{A}} \) zum Vereinfachen.
\( \begin{array}{l} v_{\mathrm{P}}^{2}-2 G \frac{M}{r_{\mathrm{P}}}= \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow v_{\mathrm{P}}^{2}=G M \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} \cdot \frac{1}{a} \end{array} \)

d) Setzen Sie dieses Ergebnis für \( v_{\mathrm{P}}^{2} \) nun in die Gesamtenergie im Perihel ein.
\( \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2}-G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}} \\ & = \\ & = \\ & = \\ & = \\ & =-\frac{1}{2} G \frac{m M}{a} \end{aligned} \)

e) Die Gesamtenergie im Perihel entspricht auch der Gesamtenergie in allen Bahnpunkten.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Formel für die Gesamtenergie auf Ellipsenbahnen herleiten

Um die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Ellipsenbahn herzuleiten, folgen wir schrittweise den gegebenen Anweisungen.

a) Anwendung des 2. Kepler'schen Gesetzes

Das 2. Kepler'sche Gesetz besagt, dass die Verbindungslinie eines Planeten zur Sonne in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Dies kann mathematisch ausgedrückt werden durch die Gleichung für die überstrichene Fläche in einem Zeitintervall \( \mathrm{d} t \):
\( \frac{1}{2} \cdot r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}} \cdot \mathrm{d} t = \frac{1}{2} \cdot r_{\mathrm{A}} \cdot v_{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{d} t \)
Diese Gleichung zeigt, dass das Produkt aus Radius und Geschwindigkeit in Perihel (\(r_{\mathrm{P}}, v_{\mathrm{P}}\)) und Aphel (\(r_{\mathrm{A}}, v_{\mathrm{A}}\)) konstant ist.

b) Gesamtenergie in Perihel und Aphel

Die Gesamtenergie \(E\) eines Körpers in einer Ellipsenbahn besteht aus der Summe seiner kinetischen und potenziellen Energie:
\( E = \frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2} - G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}} \)
Diese Energie ist in Perihel und Aphel gleich, da die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt.

c) Elimination von \(v_{\mathrm{A}}\)

Basierend auf dem in a) gegebenen Zusammenhang \( r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}} = r_{\mathrm{A}} \cdot v_{\mathrm{A}} \) und der Beziehung für die große Halbachse \(2a = r_{\mathrm{P}} + r_{\mathrm{A}}\), ergeben sich folgende Schritte zur Berechnung von \(v_{\mathrm{P}}^{2}\):

\( v_{\mathrm{P}}^{2} = G M \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} \cdot \frac{2}{2a} = G M \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} \cdot \frac{1}{a} \)

d) Gesamtenergie im Perihel

Nun setzen wir dieses Ergebnis für \(v_{\mathrm{P}}^{2}\) in die Gleichung für die Gesamtenergie \(E\) im Perihel ein:

\( \begin{aligned} E &= \frac{1}{2} m \cdot G M \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} \cdot \frac{1}{a} - G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}}\\ &= \frac{1}{2} G \frac{m M}{a} \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} - G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}}\\ &= G \frac{m M}{2a} \cdot \frac{r_{\mathrm{A}} - 2r_{\mathrm{P}}}{r_{\mathrm{P}}}\\ &= G \frac{m M}{2a} \cdot \left(\frac{2a - r_{\mathrm{P}} - 2r_{\mathrm{P}}}{r_{\mathrm{P}}}\right)\\ &= G \frac{m M}{2a} \cdot \frac{2a - 3r_{\mathrm{P}}}{r_{\mathrm{P}}}\\ &= -\frac{1}{2} G \frac{m M}{a} \end{aligned} \)

Der vierte bis sechste Schritt nutzt \(2a = r_{\mathrm{P}} + r_{\mathrm{A}}\) und vereinfacht die Ausdrücke. Die finale Gleichung \(E = -\frac{1}{2} G \frac{m M}{a}\) zeigt die Gesamtenergie für einen Körper auf einer Ellipsenbahn, ausgedrückt durch die Gravitationskonstante \(G\), die Massen \(m\) und \(M\) des Körpers bzw. der Zentralmasse und die große Halbachse \(a\).

e) Gesamtenergie in allen Bahnpunkten

Da die Gesamtenergie eines Systems in einer konservativen Kraft konserviert ist, bleibt die mit dieser Methode abgeleitete Gesamtenergie \(E = -\frac{1}{2} G \frac{m M}{a}\) in jedem Punkt der Ellipsenbahn gleich, nicht nur im Perihel, sondern auch im Aphel und überall sonst auf der Bahn.