Der Bahnparameter Exzentrizität und die Gesamtenergie eines Himmelskörpers

Question

ich habe da zwei Fragen bezüglich des Themas Gravitation. Nach Keppler sind alle Planetenbahnen elliptisch. Anhand des Bahnparameters , die Exentrizität, welche der Quotient aus linearer Exzentrizität und große Halbachse ist(e/a), lässt sich die Bahnform bestimmen.

Exentrizität = 0 -> Kreisform, das verstehe ich zwar noch

Ebenso verstehe ich, dass eine Exzentrizität zwischen 0 und 1 für eine Ellipsenbahn spricht.

Aber warum spricht eine Exzentrizität=1 für eine Parabelbahn und eine Exentrizität zwischen 1 und Unendlich für eine Hyperbel?

Analog dazu lässt sich mit der Gesamtenergie ebenfalls die Bahnform vorhersagen.

Eges<0 Kreis oder Ellipsenbahn - die negative Energie soll veranschaulichen, dass ein Himmelskörper nicht frei ist - verstehe ich noch.

Eges=0 Parabel, der Körper ist frei, er tritt in das Gravitationsfeld eines anderen Körpers ein und verlässt dieses wieder (Parabelast)

Eges>0 Hyperbel, warum eine Hyperbel?

Meine letzte Frage bezieht sich viel mehr auf die Geometrie einer Ellipse. Wie kann man mathematisch folgende Gleichung herleiten:

r1+r2=2a, wobei r1 und r2 die Fahrstrahlen beider Brennpunkte zu einem Punkt der Ellipse sind und a die große Halbachse.

Ich weiß es sind viele Fragen, aber ihr würdet mir wirklich sehr helfen, wenn ihr eine Antwort auf eine dieser Fragen hättet.

Danke im Voraus.

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Answer 1

Hallo,

wir beziehen uns auf die Bilder in

https://de.wikipedia.org/wiki/Exzentrizit%C3%A4t_(Mathematik)

Die numerische Exzentrizität ist für Ellipse und Hyerbel als  ε = e/a  definiert.

Da e der Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt ist, gilt e<a für die Ellipse und e>a für die Hyperbel.

Damit ist ε = e/a  < 1 für die Ellise und  ε = e/a > 1 für die Hyperbel.

Für die Parabel  macht e keinen Sinn und man definiert "willkürlich"  ε = 1, weil man dann Ellipsen, bestimmte Hyperbeln und Parabeln durch eine gemeinsame Gleichung beschreiben kann:

x² · (ε² - 1) + px - y² = 0     (Genaueres siehe Link)

Zu deiner Energiefrage kann ich mir im Moment leider auch nicht erklären, wie zwei Hyperbeläste mit der Bahn eines Körpers zusammenhängen sollen.

Die Gleichung  r₁ + r₂ = 2a  ergibt sich direkt aus der Definition der Ellipse als Ortslinie für alle Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten (Brennpunkte) konstant und damit = 2a ist (Letzteres wird klar, wenn man z.B. den Punkt am rechten Rand der Ellipse betrachtet)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo,

die Lösung der Bahnkurve für die Planeten Bewegung im Zentralfeld lautet:

r(φ)=p/(1+ecos(φ)) mit p=L^2/(GM)

und e^2=1+2EL^2/(GM)^2 wenn E>0

bzw. e^2=1-2|E|L^2/(GM)^2 wenn E<0

Wir sehen also, dass die Exzenzitrität

von der Energie abhängt und für E<0 einen Wert zwischen 0 und 1 annimmt und für

E>0 größer als 1 wird.

Wenn aber e>1 erfüllt ist, dann

hat der Nenner 1+ecos(φ) der Bahngleichung zwei Nullstellen, also divergiert dort der Körper weg. Es ergibt sich eine Hyperbel als Form.