gekoppelter Oszillator mit 3 Massen, 2 Federn

Question

Aufgabe:

Bei einem CO2-Molekül sind die Atome linear angeordnet, wobei sich das Kohlenstoffatom der Masse M in der Mitte befindet und die beidem Sauerstoffatome der Masse m außen. Man kann sich vorstellen, dass die Sauerstoffatome jeweils mittels "Federn" mit Kraftkonstante D mit dem C-Atome verbunden sind und so ein System zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren bilden.

Berechnen sie die Eigenfrequenzen des gekoppelten Systems

Problem/Ansatz:

Mir ist das allgemeine Vorgehen bekannt. Zuerst stelle ich die Bewegungsgleichungen für die drei Atome auf, dann schreibe ich das Gleichungssystem als Matrix und kann mit der Eigenwertberechnung die Frequenzen bestimmen. Da ich jedoch noch nie gekoppelte Oszillatoren mit drei Massen, jedoch nur 2 "Federn" gesehen habe, bin ich mir beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen unsicher und befürchte hier schon einen Fehler gemacht zu haben.

Stellt man sich das System wie folgt vor:
m --k₁₂-- M--k₂₃--m    wobei m die Masse m, M die Masse M und --k_ij-- die "Feder" mit Federkonstante D beschreibt

Dann habe ich folgende Bewegungsgleichungen überlegt:

F1 = -k₁₂x₁ + k₁₂ x₂ -(-k₂₃ x₃)

F2 = k₁₂ x₁ - k₂₃ x₂ -(-k₂₃ x₃)

F3 = k₁₂x₁ + k₂₃ x₂ - k₂₃ x₃

wobei xj die Auslenkung der j-ten Masse in x-Richtung beschreibt, x1 sei also die Auslenkung des ersten O-Atoms, x2 die des C-Atoms... kann mir bitte jemand sagen, ob die Gleichungen soweit passen? Nicht, dass ich hier direkt einen Fehler mache und alle folgenden Berechnungen somit falsch werden.

Vielen Danke im voraus!

Answer 1

Hallo

a) k12=k23 =k da das Molekül symmetrisch ist.

b) eine Eigenschwingung kann man direkt erraten, C in Ruhe, die 2 O schwingen in entgegengesetzter Richtung.

c) m1 wird nicht  direkt von m3 beeinflusst  bzw von der 2 ten Federnur von m2

entsprechend m3

nur m2 (das mittlere wird von m1 und m2 also beiden Federn beeinflusst .

Gruß lul

Comments

Vielen Dank, dann erhalte ich wenn ich die Gleichungen als Matrix-Vektorprodukt schreibe eine 3x3 Tridiagonalmatrix, nicht wahr?

Daraus müssten sich doch dann 3 Eigenwerte bzw. Eigenfrequenzen berechnen lassen. Ich bin etwas verwirrt, weil in der Aufgabestellung steht "berechnen sie die zwei Eigenfrequenzen".

---

es gibt nur 2 Eigenschwingungen.

---

Aber aus den drei Bewegungsgleichungen ergibt sich eine 3x3 Matrix, deren Eigenwerte für die Eigenschwingungen stehen, oder nicht?

---

Was ist deine Matrix und hast du drei Eigenvektoren?

---

lauten die korrekten Bewegungsgleichungen dann so?

m*a1 = k(x2-x1)

M*a2 = k(x1-x2+x3)

m*a3= k(x2-x3)