Lagerkräfte+Resultierende

Question

ich sitze gerade an einer Aufgabe in welcher man die Lagerkräfte und die resultierende Gelenkkraft in C berechnen soll.

Bei den Lagerkräften konnte ich nur die horizontalen Kräfte ermitteln, aber die vertikalen Kräfte sowie die Gelenkkraft konnte ich leider nicht ermitteln und hoffe, dass mir da jemand helfen könnte.

bekannt ist: F1= 4.6 KN, F2= 2.7 KN, l1 = 0.9m, l2= 1.2m sowie l3 = 0.4m, ferner konnte ich bereits durch 2 Momentengleichgewichte ermitteln, dass die horizontalen Kräfte in A und B 7,9 KN betragen.

Answer 1

Hallo :-)

Ich mache mal einen Freischnitt vom Gesamtsystem:

Das lässt sich in zwei Teilsysteme unterteilen:

Bereich I:

\((1)\quad \sum F_x=0: \quad F_{Ax}+F_{Cx}=0\\(2)\quad \sum F_y=0:\quad F_{Ay}-F_1+F_{Cy}=0\\\qquad\qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \quad F_{Ay}+F_{Cy}=F_1\\(3)\quad \sum M^{(A)}=0:\quad F_1\cdot \frac{l_2}{2}-F_{Cy}\cdot l_2-F_{Cx}\cdot l_1=0\\\qquad\qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow\quad F_{Cy}\cdot l_2+F_{Cx}\cdot l_1=F_1\cdot \frac{l_2}{2} \)

Bereich II:

\((4)\quad \sum F_x=0:\quad F_{Bx}-F_{Cx}=0\\(5)\quad \sum F_y=0:\quad F_{By}-F_{Cy}-F_2=0\\\qquad\qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \quad F_{By}-F_{Cy}=F_2\\(6)\quad \sum M^{(B)}=0:\quad F_{Cy}\cdot l_2+F_2\cdot (l_2+l_3)=0\\\qquad\qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \quad F_{Cy}\cdot l_2=-F_2\cdot (l_2+l_3)\)

Es sind also die Kräfte \(F_{Ax},F_{Bx},F_{Cx},F_{Ay},F_{By},F_{Cy}\) gesucht. Die ganzen Gleichgewichtsbedingungen von oben kannst du als Matrix-Vektor-Schreibweise umformulieren:

$$ \begin{pmatrix}1&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&1\\0&0&l_1&0&0&l_2\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1\\0&0&0&0&0&l_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}F_{Ax}\\F_{Bx}\\F_{Cx}\\F_{Ay}\\F_{By}\\F_{Cy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\F_1\\F_1\cdot \frac{l_2}{2}\\0\\F_2\\-F_2\cdot(l_2+l_3)\end{pmatrix} $$

$$\begin{array}{cccccc|c|c}F_{Ax}&F_{Bx}&F_{Cx}&F_{Ay}&F_{By}&F_{Cy} && \text{Operation}\\[4pt]\hline 1&0&1&0&0&0&0&\\[4pt]0&0&0&1&0&1&F_1&\\[4pt]0&0&l_1&0&0&l_2&F_1\cdot \frac{l_2}{2}&\text{Tausche (2) und (4)}\\[4pt]0&1&-1&0&0&0&0&\\[4pt]0&0&0&0&1&-1&F_2&\\[4pt]0&0&0&0&0&l_2&-F_2\cdot(l_2+l_3)&\\[4pt]\hline 1&0&1&0&0&0&0&\\[4pt]0&1&-1&0&0&0&0&\\[4pt]0&0&l_1&0&0&l_2&F_1\cdot \frac{l_2}{2}&(3)-(6)\\[4pt]0&0&0&1&0&1&F_1&l_2\cdot (4)-(6)\\[4pt]0&0&0&0&1&-1&F_2&l_2\cdot (5)+(6)\\[4pt]0&0&0&0&0&l_2&-F_2\cdot(l_2+l_3)\\[4pt]\hline 1&0&1&0&0&0&0&l_1\cdot (1)-(3)\\[4pt]0&1&-1&0&0&0&0&l_1\cdot (2)+(3)\\[4pt]0&0&l_1&0&0&0&F_1\cdot \frac{l_2}{2}+F_2\cdot(l_2+l_3)&\\[4pt]0&0&0&l_2&0&0&F_1\cdot l_2+F_2\cdot(l_2+l_3)&\\[4pt]0&0&0&0&l_2&0&-F_2\cdot l_3&\\[4pt]0&0&0&0&0&l_2&-F_2\cdot(l_2+l_3)\\[4pt]\hline l_1&0&0&0&0&0&-F_1\cdot \frac{l_2}{2}-F_2\cdot(l_2+l_3)&:l_1\\[4pt]0&l_1&0&0&0&0&F_1\cdot \frac{l_2}{2}+F_2\cdot(l_2+l_3)&:l_1\\[4pt]0&0&l_1&0&0&0&F_1\cdot \frac{l_2}{2}+F_2\cdot(l_2+l_3)&:l_1\\[4pt]0&0&0&l_2&0&0&F_1\cdot l_2+F_2\cdot(l_2+l_3)&:l_2\\[4pt]0&0&0&0&l_2&0&-F_2\cdot l_3&:l_2\\[4pt]0&0&0&0&0&l_2&-F_2\cdot(l_2+l_3)&:l_2\\[4pt]\hline 1&0&0&0&0&0&-F_1\cdot \frac{l_2}{2\cdot l_1}-F_2\cdot \frac{l_2+l_3}{l_1}&\\[4pt]0&1&0&0&0&0&F_1\cdot \frac{l_2}{2\cdot l_1}+F_2\cdot \frac{l_2+l_3}{l_1}&\\[4pt]0&0&1&0&0&0&F_1\cdot \frac{l_2}{2\cdot l_1}+F_2\cdot \frac{l_2+l_3}{l_1}&\\[4pt]0&0&0&1&0&0&F_1+F_2\cdot \frac{l_2+l_3}{l_2}&\\[4pt]0&0&0&0&1&0&-F_2\cdot \frac{l_3}{l_2} &\\[4pt]0&0&0&0&0&1&-F_2\cdot \frac{l_2+l_3}{l_2}& \end{array}$$

Comments

ahh, vielen lieben Dank, mein Fehler war, dass mein Freischnitt falsch war, ich dachte nämlich, wenn ich am Gelenk freischneide ist mein teilsystem 2 nur das kleine stück vom gelenk c bis zur Kraft F2 mit der Länge l3 und habe daher den Balkenteil links von C mehr oder weniger ignoriert woraus resultierte dass ich die Lagerkräfte nicht vollständig berechnen konnte.

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Am Gelenk zu teilen würde nur Sinn machen, wenn das Gelenk zwei Teile zusammenhält, was hier aber nicht der Fall ist. Das Gelenk ist im Balken enthalten.