Aufgabe:
Hallo alle miteinander!
Es handelt sich hierbei um die Normierung der Wellenfunktion. Könnt ihr mir BITTE auf die Sprünge helfen? Ich will dieses Thema endlich begreifen und auch weitere Aufgaben lösen. Daher wäre ich wirklich sehr froh, wenn einer mit mir schrittweise die ganze Rechnung durchgehen könnte. Beim Integrieren hatte ich am meisten Schwierigkeiten, obwohl ich das Intergrieren kann. Man muss hier verschiedene Regeln anwenden und dementsprechend rechnen. Aber alleine komme ich leider nicht voran. Ich habe zwar die Lösungen, aber verstanden hab’ ich das ganze immer noch nicht. Könnt ihr mit mir Schritt für Schritt die Rechnung durchgehen? Ich will es wirklich verstehen und nachvollziehen können.
Problem/Ansatz:
Ich poste die Lösung und meine Ideen hier hoch.
hab da mal was versucht, aber der letzte Schritt scheint nicht ganz richtig zu sein
\( \psi=N x e^{-\alpha r} \quad N . . \) Normiarungsteonstance
\( \int \psi^{2} d \tau=1=\int\left(N x_{e}^{-\alpha r}\right) \cdot\left(N x e^{-\alpha r}\right) r^{2} d r \sin \sigma d \theta d \phi \)
\( =N^{2} x^{4} e^{-2 a r} r^{2} d r \sin \theta d \theta d \phi \)
\( =N^{2} \int e^{-2 x r} \cdot(r \cdot \sin \sigma \cos \phi)^{2} \cdot r^{2} d r \sin \sigma d \theta d \phi \)
\( =N^{2} S e^{-2 x r} \cdot\left(r^{2} \cdot \sin ^{2} \sigma \cos ^{2} \phi \cdot r^{2} d r \sin \sigma d \sigma d \phi\right. \)
\( =N^{2} S_{e}-2 x r r^{4} \cdot \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \phi d r \sin \theta d \theta d \phi \)
\( =N^{2} \operatorname{Se}^{-2 \alpha r} r^{4} \cdot \sin ^{3} \theta d \theta \cos ^{2} \phi d \phi= \)
\( =N^{2} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-2 \alpha r} r^{4} d r \int \limits_{0}^{\pi} \sin ^{2} \sigma \sin \sigma d \sigma \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \phi d \phi= \)
\( =\left.\left.N^{2}\left(-2 \alpha e^{-2 \alpha r} \frac{r^{5}}{5}\right)\right|_{0} ^{\infty} \cdot\left(\frac{1}{2}(1-\cos (\sigma)) \cos \sigma d \theta\right]\right|_{0} ^{\pi} \cdot \frac{1}{2}\left(1+\left.\sin (x)\right|_{0} ^{2 \pi}\right. \)
Hier ist die Aufgabenstellung+ Lösung:
Beispiel: Normierung der Wellenfunktion
\( \Psi=\mathrm{Nx} e^{-\alpha r} \)
Herangehensweise:
- Darstellung in Polarkoordinaten \( x=r \sin \theta \cos \phi \) und \( d \tau=r^{2} d r \sin \theta d \theta d \phi \)
- Integrationsgrenzen?
- Nützliche Integrale:
\( \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{\infty} x^{n} e^{-\alpha x} d x=\frac{n !}{a^{n+1}} \\ \int \limits_{0}^{\pi} \cos ^{n} \theta \sin \theta d \theta=\left\{1+(-1)^{n}\right\} /(n+1) \end{array} \)
Lösung:
\( \begin{aligned} & \int \Psi^{2} d \tau=1=\int\left(\mathrm{Nx} e^{-\alpha r}\right)\left(\mathrm{Nx} e^{-\alpha r}\right) \mathrm{d} \tau=\\ =& \int\left(\mathrm{Nx} e^{-\alpha r}\right)\left(\mathrm{Nx} e^{-\alpha r}\right) r^{2} d r \sin \theta d \theta d \phi=\\ =& \int N^{2} x^{2} e^{-2 \alpha r} r^{2} d r \sin \theta d \theta d \phi=\\ =& N^{2} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-2 \alpha r} r^{4} d r \sin ^{3} \theta d \theta \cos ^{2} \phi d \phi=\\ =& N^{2} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-2 \alpha r} r^{4} d r \int \limits_{0}^{\pi} \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \theta d \theta \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \phi d \phi=\\ =& N^{2} \int \limits_{0}^{-2 \alpha r} r^{4} d r \int \limits_{0}^{2 \pi}\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \sin \theta d \theta \int \limits_{0}^{2} \cos ^{2} \phi d \phi=\\ =& N^{2} \frac{4 !}{2^{5} \alpha^{5}}\left\{2-\frac{2}{3}\right\} \pi=N^{2} \frac{\pi}{\alpha^{5}} \Rightarrow N=\sqrt{\alpha^{5} / \pi} \end{aligned} \)
