Ist das richtig?
a) Habe ich auch so.
b) Bei mir ist der eine Endpunkt der Admittanzortskurve bei 0,9 / -j0,3 und nicht bei 0,5 / +j0,5, denn der eine Endpunkt der Y1-Admittanzortskurve liegt wegen ω*L ≤ 1Ω nicht bei 0/0, sondern bei 0,4/-j0,8:
ω*L=1Ω → Y1 = 0,5Ω / ((0,5Ω)2+(1Ω)2) - j (1Ω / ((0,5Ω)2+ (1Ω)2) ) = 0,4 S - j 0,8 S
Der zweite Endpunkt bei 2,5 / +j0,5 und der Tiefpunkt bei 1,5 / -j0,5 stimmen mit meinen überein.
Wie berechnet man in c) die Resonanzfrequenz?
Das wird im Aufgabentext nicht verlangt, sondern die Bestimmung des ω * L - Wertes bei Resonanz.
Bei Resonanz muss der Imaginärteil der Admittanz Yab gleich Null sein, also
(1 / (ω * C)) / ( R22+(1 / ω * C)2) - ω * L / ( R12+(ω * L)2) = 0
Die gegebenen Werte eingesetzt ergibt das:
(1 / 1) / (1+1) - ω * L / (0,25 + (ω * L)2) = 0
0,5 - ω * L / (0,25 + (ω * L)2) = 0
Die linke Seite auf einen Nenner bringen:
(0,5 * (0,25 + (ω * L)2) - ω * L) / (0,25 + (ω * L)2) = 0
Beide Seiten mit (0,25 + (ω * L)2) multiplizieren ergibt:
(0,5 * (0,25 + (ω * L)2) - ω * L) = 0
0,125 + 0,5 * (ω * L)2 - ω * L = 0
0,5 * (ω * L)2 - ω * L = -0,125 | * 2
(ω * L)2 - 2 * ω * L = -0,25
Das ist eine gemischt quadratische Gleichung, die z.B. mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden kann:
(ω * L)2 - 2 * ω * L + 12 = -0,25 + 12
(ω * L - 1)2 = 0,75
ω * L = +-√(0,75) + 1
(ω * L)1 ≈ 0,13397
(ω * L)2 ≈ 1,866
Die zweite Lösung kommt nicht infrage, weil ω * L ≤ 1 sein soll.
Die Einheiten habe ich der Übersichtlichkeit wegen weggelassen.
c) Der Wert von ω * L bei Resonanz beträgt also ca. 0,134 Ω.
Die "Resonanzstelle" ist in deiner Zeichnung an der Stelle, an der die Yab - Admittanzortskurve die Re - Achse schneidet, denn dort heben sich die Imaginäranteile auf und das sollte bei ca. 2,37 S sein.
Laut Lösung kommt für wL = 0,125 Ohm raus...
Diese Lösung ergibt sich, wenn z.B. mit zeichnerisch ermittelten 2,38 S anstatt der errechneten 2,37 S gerechnet wird.
