Berechnen Sie die Kreisbahn und die Fluchtgeschwindigkeit

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Kreisbahn- und die Fluchtgeschwindigkeit

a) auf der Mondoberfläche

b) auf der Sonnenoberfläche

Problem/Ansatz:

Ich war die letzten Physik Stunden nicht da und habe k.A. wie ich das berechnen soll.

Comments

Formel hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)

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oder hier:

https://www.physikerboard.de/topic,14439,-berechnung-fluchtgeschwind…

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Nanolounge... \o/

Wir betrachten die folgende Situation. Eine Masse $m$ ruhe in unendlicher (bzw. sehr großer) Entfernung $r$ von einem Planeten mit Masse $M$ und Radius $R$. Die Gravitationskraft$$F=-G\,\frac{mM}{r^2}$$zieht die Masse $m$ zum Planeten hin und verleiht ihm dabei eine Geschwindigkeit $v$. Diese Geschwindigkeit bestimmen wir über die kinetische und die potentielle Energie wie folgt:

$$\frac12mv^2=\int\limits_{\infty}^RF\,dr=-\int\limits_\infty^RG\,\frac{mM}{r^2}dr=\left[G\,\frac{mM}{r}\right]_\infty^R=G\,\frac{mM}{R}\implies v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$Dieselbe Geschwindigkeit muss die Masse $m$ umgekehrt haben, um dem Gravitationsfeld des Planeten ins Unendliche entkommen zu können. Daher ist $v$ gleich der Fluchtgeschwindigkeit.

Bewegt sich die Masse $m$ auf einer Kreisbahn in der Höhe $h$ um den Planeten, so addieren sich die Zentrifugalkraft und die Gravitationskraft auf die Masse $m$ zu $0$. Daraus bestimmen wir die Kreisbahn-Geschwindigkeit $v_K$:$$0\stackrel!=m\,\frac{v_K^2}{R+h}-G\,\frac{mM}{(R+h)^2}\implies m\,\frac{v_K^2}{R+h}=G\,\frac{mM}{(R+h)^2}\implies v_K=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$$

Für $h=0$ kann man die Kreisbahngeschwindigekeit $v_K$ nicht bestimmen, denn dann liegt die Masse $m$ auf dem Planeten und dreht sich mit der Rotationsgeschwindigkeit des Planeten. Daher kann man ohne Kenntnis der Höhe $h$ die Kreisbahn-Geschwindigkeit für die Mondoberfläche bzw. die Sonnenoberfläche nicht bestimmen.