Aloha :)
Willkommen in der Nanolounge... \o/
Wir betrachten die folgende Situation. Eine Masse \(m\) ruhe in unendlicher (bzw. sehr großer) Entfernung \(r\) von einem Planeten mit Masse \(M\) und Radius \(R\). Die Gravitationskraft$$F=-G\,\frac{mM}{r^2}$$zieht die Masse \(m\) zum Planeten hin und verleiht ihm dabei eine Geschwindigkeit \(v\). Diese Geschwindigkeit bestimmen wir über die kinetische und die potentielle Energie wie folgt:
$$\frac12mv^2=\int\limits_{\infty}^RF\,dr=-\int\limits_\infty^RG\,\frac{mM}{r^2}dr=\left[G\,\frac{mM}{r}\right]_\infty^R=G\,\frac{mM}{R}\implies v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$Dieselbe Geschwindigkeit muss die Masse \(m\) umgekehrt haben, um dem Gravitationsfeld des Planeten ins Unendliche entkommen zu können. Daher ist \(v\) gleich der Fluchtgeschwindigkeit.
Bewegt sich die Masse \(m\) auf einer Kreisbahn in der Höhe \(h\) um den Planeten, so addieren sich die Zentrifugalkraft und die Gravitationskraft auf die Masse \(m\) zu \(0\). Daraus bestimmen wir die Kreisbahn-Geschwindigkeit \(v_K\):$$0\stackrel!=m\,\frac{v_K^2}{R+h}-G\,\frac{mM}{(R+h)^2}\implies m\,\frac{v_K^2}{R+h}=G\,\frac{mM}{(R+h)^2}\implies v_K=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$$
Für \(h=0\) kann man die Kreisbahngeschwindigekeit \(v_K\) nicht bestimmen, denn dann liegt die Masse \(m\) auf dem Planeten und dreht sich mit der Rotationsgeschwindigkeit des Planeten. Daher kann man ohne Kenntnis der Höhe \(h\) die Kreisbahn-Geschwindigkeit für die Mondoberfläche bzw. die Sonnenoberfläche nicht bestimmen.
