Antwort mit KI erzeugt
a) Abklingkonstante und Periodendauer des ungedämpten Systems
Um die Abklingkonstante \(\delta\) zu bestimmen, nutzen wir die Information, dass der maximale Auslenkungswinkel nach 4 Perioden auf \(\frac{1}{12,6} \cdot \hat{\varphi}_{0}\) gefallen ist. Die zugehörige Formel für die Abnahme der Amplitude in einem gedämpften Schwingungssystem ist:
\(
\varphi(t) = \hat{\varphi}_{0} \cdot e^{-\delta t}
\)
Nach 4 Perioden (d.h., \(T = 25,4 \, \text{s}\)) gilt:
\(
\frac{1}{12,6} \cdot \hat{\varphi}_{0} = \hat{\varphi}_{0} \cdot e^{-\delta \cdot 4T}
\)
Vereinfachend (und \(\hat{\varphi}_{0}\) herauskürzend) ergibt sich daraus:
\(
\frac{1}{12,6} = e^{-\delta \cdot 4T}
\)
Daraus folgt für die Abklingkonstante \(\delta\):
\(
- \ln\left(12,6\right) = -\delta \cdot 4 \cdot 25,4
\)
\(
\delta = \frac{\ln\left(12,6\right)}{4 \cdot 25,4}
\)
\(
\delta \approx \frac{2,533}{101,6} \approx 0,0249 \, \text{s}^{-1}
\)
Die Periodendauer \(T\) des ungedämpten Systems ist gegeben durch:
\(
T = \frac{25,4 \, \text{s}}{4} = 6,35 \, \text{s}
\)
b) Berechnung der Masse eines Hohlzylinders
Um die Masse eines Hohlzylinders zu berechnen, benötigen wir die Formel für das Trägheitsmoment von Hohlzylindern, welches durch die Beziehung \(J = \frac{1}{2} M r^2 = D^*\) bestimmt wird, dabei ist \(M\) die Masse eines Hohlzylinders und \(r\) der Radius des Hohlzylinders. \(D^*\) ist die Rückstellkonstante der Feder.
Gegeben ist \(D^* = 0,024 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}\) und \(r = 0,10 \, \text{m}\). Setzt man diese in die obige Gleichung ein, erhält man:
\(
0,024 = \frac{1}{2} M (0,10)^2
\)
Daraus resultiert für \(M\):
\(
M = \frac{0,024}{0,05} = 0,48 \, \text{kg}
\)
Dies ist jedoch die Masse beider verbundener Zylinder. Da die Aufgabenstellung die Masse eines Hohlzylinders verlangt und beide Zylinder gleich sind, ist die Masse eines einzelnen Zylinders:
\(
M_{\text{einzeln}} = \frac{0,48}{2} = 0,24 \, \text{kg}
\)
c) Resonanzüberhöhung und daraus die Abklingkonstante
Um die Resonanzüberhöhung \(Q\) zu bestimmen, betrachten wir den Amplitudengang. Die Resonanzüberhöhung ist durch das Verhältnis der maximalen zur statischen Auslenkung definiert und wird in der Skizze gezeigt. Ohne explizite Werte aus der Skizze können wir folgende Formel verwenden:
\(
Q = \frac{1}{2 \delta \sqrt{\frac{D^*}{J}}}
\)
Ohne spezifische Werte für die Resonanzfrequenz oder Amplitude können wir die Abklingkonstante nicht direkt aus der Resonanzüberhöhung bestimmen. Jedoch, wenn wir annehmen, dass die Information zur Resonanzüberhöhung gegeben wäre, würden wir \(\delta\) durch Umstellen der Formel nach \(\delta\) berechnen. Leider fehlen in der Anfrage die nötigen expliziten Werte, um diese Berechnung durchzuführen.
