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Antwort auf die Aufgabe
Um zu untersuchen, ob ein Eigenvektor \( \phi \) der 3-Komponente des Drehimpulses \( \hat{L}_{3} \) zugleich auch ein Eigenvektor von \( \hat{L}_{1} \), \( \hat{L}_{2} \), oder \( \hat{L}^{2} \) sein kann, betrachten wir die Eigenschaften der Drehimpulsoperatoren in der Quantenmechanik und verwenden die Heisenbergsche Unschärferelation sowie Kommutatoren.
1. Die Heisenbergsche Unschärferelation und Kommutatoren
Die Heisenbergsche Unschärferelation für zwei Operatoren \( \hat{A} \) und \( \hat{B} \) für einen Zustand \( \phi \) lautet wie folgt:
\(
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left| \left\langle [\hat{A}, \hat{B}] \right\rangle \right|,
\)
wobei \( \Delta A \) und \( \Delta B \) die Unsicherheiten von \( \hat{A} \) bzw. \( \hat{B} \) im Zustand \( \phi \) sind, und \( [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \) der Kommutator von \( \hat{A} \) und \( \hat{B} \) ist.
2. Kommutatoren der Drehimpulskomponenten
Die Kommutatoren der Drehimpulskomponenten sind bekannt und gegeben durch:
\(
[\hat{L}_{1}, \hat{L}_{2}] = i\hbar\hat{L}_{3},
\)
\(
[\hat{L}_{2}, \hat{L}_{3}] = i\hbar\hat{L}_{1},
\)
\(
[\hat{L}_{3}, \hat{L}_{1}] = i\hbar\hat{L}_{2},
\)
und für das Gesamtdrehimpulsquadrat \( \hat{L}^{2} \) gilt, dass es mit jeder Komponente des Drehimpulses kommutiert:
\(
[\hat{L}^{2}, \hat{L}_{j}] = 0 \quad \text{für } j=1, 2, 3.
\)
3. Analyse der Eigenvektorbedingungen
- Eigenvektor von \( \hat{L}_{1} \) oder \( \hat{L}_{2} \):
Wir betrachten zunächst einen Operator \( \hat{L}_{j} \) (für \( j = 1 \) oder \( 2 \)) und den Kommutator \( [\hat{L}_{3}, \hat{L}_{j}] \). Da dieser Kommutator nicht null ist, impliziert die Heisenbergsche Unschärferelation, dass die Messungen von \( \hat{L}_{3} \) und \( \hat{L}_{j} \) nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Somit kann ein Eigenvektor \( \phi \) von \( \hat{L}_{3} \) nicht gleichzeitig ein Eigenvektor von \( \hat{L}_{1} \) oder \( \hat{L}_{2} \) sein, da dies bedeuten würde, dass beide Observable gleichzeitig genau bestimmt wären, was im Widerspruch zur Unschärferelation steht.
- Eigenvektor von \( \hat{L}^{2} \):
Anders verhält es sich mit dem Gesamtdrehimpulsquadrat \( \hat{L}^{2} \). Da \( \hat{L}^{2} \) mit allen drei Komponenten des Drehimpulses kommutiert, gibt es keine durch die Unschärferelation gegebene Einschränkung, die verhindert, dass \( \phi \) ein Eigenvektor von \( \hat{L}^{2} \) ist. Tatsächlich können und sind in der Quantenmechanik Zustände, die gleichzeitig Eigenzustände von \( \hat{L}^{2} \) und einer Komponente des Drehimpulses, üblicherweise \( \hat{L}_{3} \), sind, üblich.
Zusammenfassung
Ein Eigenvektor \( \phi \) der 3-Komponente des Drehimpulses \( \hat{L}_{3} \) kann nicht gleichzeitig ein Eigenvektor von \( \hat{L}_{1} \) oder \( \hat{L}_{2} \) sein, aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation und der Nichtkommutativität der Drehimpulskomponenten untereinander. Er kann jedoch ein Eigenvektor von \( \hat{L}^{2} \) sein, da \( \hat{L}^{2} \) mit allen Komponenten kommutiert und somit keine durch die Unschärferelation erzwungene Einschränkung existiert.
