Mit Hamiltonschen Gleichungen rechnen

Question

In der klassischen Mechanik wird einem Teilchen der Masse \( m \), das sich nur entlang der \( x \) -Achse bewegt und das sich in einem Potential \( V(x) \) befindet, die Lagrangefunktion

\( L(x, \dot{x})=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}-V(x) \)

zugeordnet. Wir betrachten hier das Potential des harmonischen Oszillators, \( V(x)=\frac{k}{2} x^{2} \) mit einer positiven Konstanten \( k \).

(a) Geben Sie den zur Koordinate \( x \) kanonisch konjugierten Impuls \( p \) und die Hamiltonfunktion \( H(x, p) \) an. Integrieren Sie die Hamiltonschen Gleichungen. Die Lösung \( x(t), p(t) \) muss zwei freie Konstanten enthalten.

(b) Bestimmen Sie die durch die Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Bedingung
\( \frac{1}{2 \pi} \oint p d x=n \hbar, \quad n \in \mathbb{N} \)
erlaubten Energiewerte \( E_{n} \), ausgedrückt durch die Eigenfrequenz \( \omega=\sqrt{k / m} \) des Oszillators.

Dabei bezeichnet q eine generalisierte Koordinate – im vorliegenden Fall zweckmäßigerweise einen Winkel – und p den zugehörigen kanonisch konjugierten Impuls. Man muss also den Hamiltonformalismus verwenden, den wir hier und im Folgenden als bekannt voraussetzen. Die sogenannte Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Quantisierungsregel kann ja nicht nur auf die Bewegung im 1/r-Potential angewendet werden, sondern auch auf andere Bewegungsprobleme, die eine Hamiltonsche Formulierung zulassen und periodische Lösungen besitzen, also zum Beispiel auf den harmonischen Oszillator. Kann mir jemand sagen, wie man anhand dessen dann diese Koordinate in a) bestimmt sowie diese Energiewerte in b)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Teil a: Kanonisch konjugierter Impuls und Hamiltonfunktion

Zuerst bestimmen wir den zu \(x\) kanonisch konjugierten Impuls \(p\). Dieser wird durch die partielle Ableitung der Lagrangefunktion \(L(x, \dot{x})\) nach der Geschwindigkeit \(\dot{x}\) definiert:

\( p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{m}{2} \dot{x}^2 - V(x) \right) = m\dot{x} \)

Mit dem Potential \(V(x)=\frac{k}{2} x^2\) berechnen wir nun die Hamiltonfunktion \(H\). Die Hamiltonfunktion ist die Legendre-Transformation der Lagrangefunktion und wird typischerweise durch den Ausdruck

\( H = p\dot{x} - L \)

dargestellt, wobei \(L\) durch \(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{k}{2}x^{2}\) gegeben ist. Um \(H\) explizit zu berechnen, setzen wir \(p = m\dot{x}\) ein und lösen nach \(\dot{x}\) auf:

\( \dot{x} = \frac{p}{m} \)

Einsetzen dieser Beziehung in die Hamiltonfunktion führt zu:

\( H(x,p) = p\left(\frac{p}{m}\right) - \left(\frac{m}{2}\left(\frac{p}{m}\right)^2 - \frac{k}{2}x^2\right) = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 \)

Nun integrieren wir die Hamiltonschen Gleichungen:

\( \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx \)

Durch erneutes Ableiten von \(\dot{x}\) bezüglich der Zeit erhalten wir eine Gleichung für \(x\):

\( \ddot{x} = \frac{\dot{p}}{m} = -\frac{k}{m}x = -\omega^2 x \)

wobei \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) die Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators ist. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist:

\( x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)

wobei \(A\) und \(\phi\) zwei Konstanten sind, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Die Impulslösung \(p(t)\) erhalten wir durch:

\( p(t) = m\dot{x}(t) = -m\omega A\sin(\omega t + \phi) \)

Teil b: Energiequantisierung mit Bohr-Sommerfeld

Gemäß der Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung ist das Produkt aus Impuls und Wegintegral über einen vollen Zyklus (hier über \(\oint pdx\)) quantisiert:

\( \frac{1}{2\pi}\oint pdx = n\hbar, \quad n \in \mathbb{N} \)

Für den harmonischen Oszillator führen wir das vollständige Integral über einen Zyklus aus und erhalten:

\( \oint pdx = \oint (-m\omega A\sin(\omega t + \phi)) d(A\cos(\omega t + \phi)) \)

Das Integral auf der rechten Seite lässt sich vereinfachen, indem man beachtet, dass die Bewegung des Oszillators periodisch ist. Die tatsächliche Berechnung führt auf ein Integral über ein Produkt von Sinus und Kosinus, wobei die Grenzen über einen vollständigen Zyklus zu nehmen sind. Ohne in die Tiefe der Integralrechnung einzusteigen, wird das Ergebnis die Fläche in der \(xp\)-Phase sein, welche eine Ellipse bildet. Die Fläche einer Ellipse beträgt \(\pi AB\), wobei \(A\) die Amplitude der Position und \(B\) die maximale Impulsamplitude ist. Für unseren Fall ist \(B = m\omega A\) und somit:

\( \oint pdx = 2\pi m\omega A^2 \)

Setzten wir dies in die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung ein:

\( \frac{1}{2\pi} 2\pi m\omega A^2 = n\hbar \rightarrow m\omega A^2 = n\hbar \)

Die Energie des harmonischen Oszillators, ausgedrückt durch \(H\), ist:

\( E = H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2 A^2}{2} + \frac{kA^2}{2} = m\omega^2 A^2 \)

Ersetzen wir nun \(m\omega A^2\) durch \(n\hbar\):

\( E = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) \)

Diese Ergebnis ist die Quantisierung der Energie des harmonischen Oszillators in der klassischen Mechanik unter Verwendung der Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel.