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Bestimmung der Gesamtladung eines nichtleitenden Würfels
Um die Gesamtladung \(Q\) eines nichtleitenden Würfels mit einer gegebenen Ladungsverteilung \(p(x,y,z) = a \cdot \frac{(x+y)}{L}\) für \(0 \leq x,y,z \leq L\) zu bestimmen, nutzen wir das Volumenintegral der Ladungsdichte über das Volumen des Würfels. Die Ladungsdichte \(p(x,y,z)\) gibt die Ladung pro Volumeneinheit an jedem Punkt im Würfel an.
Das Integral zur Bestimmung der Gesamtladung lautet:
\(
Q = \int_{V} p(x, y, z) \, dV
\)
Da der Würfel die Kantenlänge \(L\) hat und sich im Bereich \(0 \leq x,y,z \leq L\) erstreckt, kann das Integral in drei Teilintegrale zerlegt werden, eines für jede Achse (x, y, und z). Das Volumenelement \(dV\) wird in kartesischen Koordinaten als \(dx\, dy\, dz\) beschrieben.
Somit erhalten wir:
\(
Q = \int_{0}^{L} \int_{0}^{L} \int_{0}^{L} a \cdot \frac{(x+y)}{L} \, dx\, dy\, dz
\)
Jetzt integrieren wir schrittweise über jede Variable. Wir beginnen mit \(x\):
\(
\int_{0}^{L} a \cdot \frac{x+y}{L} \, dx = a \cdot \frac{1}{L} \left( \frac{x^2}{2} + xy \right) \Big|_{0}^{L} = a \cdot \frac{L^2}{2} + a \cdot yL
\)
Jetzt über \(y\):
\(
\int_{0}^{L} (a \cdot \frac{L^2}{2} + a \cdot yL) \, dy = a \cdot \frac{L^2y}{2} + a \cdot \frac{y^2L}{2} \Big|_{0}^{L} = aL^3 \cdot \frac{1}{2} + aL^3 \cdot \frac{1}{2} = aL^3
\)
Und zuletzt über \(z\), wobei das Integral über \(z\) lediglich das Ergebnis mit \(L\) multipliziert, da die Funktion nicht von \(z\) abhängt:
\(
\int_{0}^{L} aL^3 \, dz = aL^3 \cdot L = aL^4
\)
Daraus folgt, dass die Gesamtladung \(Q\) des Würfels:
\(
Q = aL^4
\)
Das Ergebnis zeigt, dass die Gesamtladung des nichtleitenden Würfels direkt proportional zum Produkt aus dem Proportionalitätsfaktor \(a\) und der vierten Potenz der Kantenlänge \(L\) ist.
