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Stromdichtevektor \( \vec{J} \)
a) Der gegebene Ansatz für den Stromdichtevektor \( \vec{J} \) lautet \( J = q \cdot n \cdot v \), wobei
- \( q \) die Ladung eines Elektrons ist, d.h. \( q = -e \) mit \( e = 1.6 \times 10^{-19} \) Coulomb,
- \( n(z) \) die Dichte der beweglichen Ladungsträger als Funktion von \( z \) ist, gegeben durch \( n(z) = n_{0} \cdot e^{z/\delta} \),
- \( v \) die Geschwindigkeit der Ladungsträger in \( x \)-Richtung ist.
Da der Vektor \( v \) hier in \( x \)-Richtung wirkt, können wir ihn darstellen als \( v \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \), was impliziert \( \vec{v} = 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \hat{i} \). Der Ausdruck \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) zeigt die Richtung des Vektors an, während \( 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \) seine Größe darstellt.
Deshalb ist der Stromdichtevektor \( \vec{J} \):
\( \vec{J} = -e \cdot n(z) \cdot \vec{v} = -e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7 \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
Stromstärke für einen Querschnitt
b) Die Stromstärke \( I \) durch den Querschnitt \( y=0 \ldots w, z=0 \ldots -\infty \) kann durch das Integral der Stromdichte \( \vec{J} \) über diesen Bereich berechnet werden. Da \( \vec{J} \) nur eine \( x \)-Komponente hat, ergibt sich \( I \) zu:
\( I = \int_{z=-\infty}^{0} \int_{y=0}^{w} J_x \, dy \, dz \)
Da \( J_x = -e \cdot n(z) \cdot v = -e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7 \) und unabhängig von \( y \) ist:
\( I = \int_{z=-\infty}^{0} (-e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7) \, dz \int_{y=0}^{w} dy \)
\( I = -e \cdot n_{0} \cdot 10^7 \cdot w \int_{z=-\infty}^{0} e^{z/\delta} \, dz \)
Der Integrationspart ergibt:
\( \int_{z=-\infty}^{0} e^{z/\delta} \, dz = \left[ \delta e^{z/\delta} \right]_{-\infty}^{0} = \delta \)
Somit:
\( I = -e \cdot n_{0} \cdot 10^7 \cdot w \cdot \delta \)
Bestimmung von \( w \) für einen Strom von 1.6 A
c) Setzen wir nun die gegebenen Zahlenwerte ein:
\( I = -1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{17} \cdot 10^{7} \cdot w \cdot 10^{-7} = 1.6 \, \mathrm{A} \)
\( 1.6 = \left | -1.6 \cdot w \right | \)
Da \( I \) positiv ist und wir den Betrag von \( I \) verwenden, können wir \( w \) direkt berechnen:
\( w = 1 \, \mathrm{cm}^2 \)
Dies zeigt, wie \( w \) berechnet wird, damit ein Strom von \( |I| = 1.6 \) A fließt.