Berechnen Sie für einen Querschnitt y=0 \ldots w, z=0 \ldots-\infty (Normalenvektor in x -Richtung) allgemein die …

Question

Aufgabe:

In der Halbebene \( z<0 \) befindet sich eine Siliziumscheibe mit beweglichen Ladungsträgern, welche sich in \( x \) -Richtung mit der Geschwindigkeit \( v=10^{7} \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \) bewegen. Die Dichte beweglicher Elektronen \( n \) im Silizium ist unabhängig von \( x \) und \( y \), nimmt aber in \( -z \) -Richtung ab, entsprechend der Beziehung

\( n(z)=n_{0} \cdot \mathrm{e}^{z / \delta} \)

mit \( n_{0}=10^{17} \mathrm{~cm}^{-3} \) und \( \delta=100 \mathrm{nm} \).

a) Geben Sie den Stromdichtevektor \( \vec{J} \) an, in Abhängigkeit vom Ort \( (x, y, z), v \) und \( \delta ! \)

b) Berechnen Sie für einen Querschnitt \( y=0 \ldots w, z=0 \ldots-\infty \) (Normalenvektor in \( x \) -Richtung) allgemein die Stromstärke.

c) Bestimmen Sie nun für die gegebenen Zahlenwerte das \( w \) so, dass im sich ergebenden Querschnitt ein Strom \( |I|=1.6 \) A fließt.

Ansatz:

a) 
J = q * n v
J = -e * n(z) * v

Wie bekomme ich den Vektor v? In den Lösung steht \begin{pmatrix} v\\0\\0 \end{pmatrix} = (\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Wie kommt es hier zur 1? Müsste es nicht 10^7 cm/s sein?

Comments

Zu a)

es ist \( \vec{v} = \vec{e_v}|\vec{v}| = (1,0,0)\cdot v \)

Der Einheitsvektor ist (1,0,0), weil sich die Elektronen laut Aufgabenstellung in x-Richtung bewegen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Stromdichtevektor \( \vec{J} \)

a) Der gegebene Ansatz für den Stromdichtevektor \( \vec{J} \) lautet \( J = q \cdot n \cdot v \), wobei

- \( q \) die Ladung eines Elektrons ist, d.h. \( q = -e \) mit \( e = 1.6 \times 10^{-19} \) Coulomb,
- \( n(z) \) die Dichte der beweglichen Ladungsträger als Funktion von \( z \) ist, gegeben durch \( n(z) = n_{0} \cdot e^{z/\delta} \),
- \( v \) die Geschwindigkeit der Ladungsträger in \( x \)-Richtung ist.

Da der Vektor \( v \) hier in \( x \)-Richtung wirkt, können wir ihn darstellen als \( v \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \), was impliziert \( \vec{v} = 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \hat{i} \). Der Ausdruck \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) zeigt die Richtung des Vektors an, während \( 10^7 \, \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \) seine Größe darstellt.

Deshalb ist der Stromdichtevektor \( \vec{J} \):
\( \vec{J} = -e \cdot n(z) \cdot \vec{v} = -e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7 \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Stromstärke für einen Querschnitt

b) Die Stromstärke \( I \) durch den Querschnitt \( y=0 \ldots w, z=0 \ldots -\infty \) kann durch das Integral der Stromdichte \( \vec{J} \) über diesen Bereich berechnet werden. Da \( \vec{J} \) nur eine \( x \)-Komponente hat, ergibt sich \( I \) zu:
\( I = \int_{z=-\infty}^{0} \int_{y=0}^{w} J_x \, dy \, dz \)

Da \( J_x = -e \cdot n(z) \cdot v = -e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7 \) und unabhängig von \( y \) ist:
\( I = \int_{z=-\infty}^{0} (-e \cdot n_{0} \cdot e^{z/\delta} \cdot 10^7) \, dz \int_{y=0}^{w} dy \)

\( I = -e \cdot n_{0} \cdot 10^7 \cdot w \int_{z=-\infty}^{0} e^{z/\delta} \, dz \)

Der Integrationspart ergibt:
\( \int_{z=-\infty}^{0} e^{z/\delta} \, dz = \left[ \delta e^{z/\delta} \right]_{-\infty}^{0} = \delta \)

Somit:
\( I = -e \cdot n_{0} \cdot 10^7 \cdot w \cdot \delta \)

Bestimmung von \( w \) für einen Strom von 1.6 A

c) Setzen wir nun die gegebenen Zahlenwerte ein:
\( I = -1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{17} \cdot 10^{7} \cdot w \cdot 10^{-7} = 1.6 \, \mathrm{A} \)

\( 1.6 = \left | -1.6 \cdot w \right | \)

Da \( I \) positiv ist und wir den Betrag von \( I \) verwenden, können wir \( w \) direkt berechnen:
\( w = 1 \, \mathrm{cm}^2 \)

Dies zeigt, wie \( w \) berechnet wird, damit ein Strom von \( |I| = 1.6 \) A fließt.