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Erste kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit) für Mars
Die erste kosmische Geschwindigkeit, auch Kreisbahngeschwindigkeit genannt, ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt erreichen muss, um in einer kreisförmigen Umlaufbahn um einen Himmelskörper zu bleiben und nicht auf diesen zurückzufallen. Sie ist abhängig von der Masse und dem Radius des Himmelskörpers.
Die Formel für die erste kosmische Geschwindigkeit \(v_1\) lautet:
\(
v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}
\)
Dabei ist
- \(G\) die Gravitationskonstante \((6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \, \text{kg}^{-1} \, \text{s}^{-2})\),
- \(M\) die Masse des Himmelskörpers (in Kilogramm),
- \(R\) der Radius des Himmelskörpers (in Metern).
Da aber die Aufgabe relative Werte bezüglich der Erde angibt und für die Erde eine Kreisbahngeschwindigkeit (\(V_{Ge}\)) von 7,9 km/s bekannt ist, können wir die Beziehung zwischen den Werten für die Erde und denen für den Mars nutzen, um \(v_1\) für Mars zu berechnen, ohne \(G\) explizit zu benötigen.
Gegeben sind:
- \(M_{\text{mars}} = 0,108 \, M_{\text{e}}\),
- \(R_{\text{mars}} = 0,538 \, R_{\text{e}}\),
- \(V_{Ge} = 7,9\) km/s ist die erste kosmische Geschwindigkeit für die Erde.
Die Formel für die erste kosmische Geschwindigkeit umgeformt für relative Massen und Radien ergibt:
\(
v_{1,\text{mars}} = V_{Ge} \cdot \sqrt{\frac{M_{\text{mars}}}{R_{\text{mars}}}}
\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(
v_{1,\text{mars}} = 7,9 \, \text{km/s} \cdot \sqrt{\frac{0,108}{0,538}}
\)
Rechnung:
\(
v_{1,\text{mars}} = 7,9 \, \text{km/s} \cdot \sqrt{0,2007} = 7,9 \, \text{km/s} \cdot 0,448
\)
\(
v_{1,\text{mars}} = 3,54 \, \text{km/s}
\)
Zweite kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) für Mars
Die zweite kosmische Geschwindigkeit, auch Fluchtgeschwindigkeit genannt, ist die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt relativ zu einem Himmelskörper erreichen muss, um dessen Gravitationsfeld (ohne weiteren Antrieb) zu verlassen.
Die Formel für die zweite kosmische Geschwindigkeit \(v_2\) lautet:
\(
v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1
\)
Da wir \(v_1 = 3,54 \, \text{km/s}\) für Mars bereits berechnet haben, können wir \(v_2\) direkt bestimmen:
\(
v_2 = \sqrt{2} \cdot 3,54 \, \text{km/s} = 5,006 \, \text{km/s}
\)
Zusammenfassung:
- Die erste kosmische Geschwindigkeit für Mars beträgt etwa \(3,54 \, \text{km/s}\).
- Die zweite kosmische Geschwindigkeit für Mars beträgt etwa \(5,00 \, \text{km/s}\).
