Was aber, wenn man nur eine bestimmte Wandstärke nehmen darf?

Question

Aufgabe:

Berechnung des Rohrdurchmessers nur aus Wandstärke und dem Biegewiderstandsmoment(axialer Widerstandsmoment)

Vorerst einige Infos:

Der Biegewiderstandsmoment eines einseitig eingespannten Trägers berechnet sich mit

Wb =Mbzul / sigmab_zul

Wobei Mbzul = Fzul * l ist

Fzul = zulässige Kraft in Newton

l = Länge des Trägers in mm

sigmab_zul = zulässiges Biegemoment in N/mm²

Rechenbeispiel:

Ein Rohr das 3 Meter lang ist, trägt eine KW-Antenne mit einer Windlast von 310 Newton bei 130 km/h(Bauvorschrift!!!)

Bei schwingender Belastung (Fall III) sind das bei ST 50-2(heute E295) sind das bei Biegung

50 bis 75 N/mm² sigmab_zul

Nehmen wir nun lieber 50N/mm²

(310N * 5000mm) / 50 = 19375 mm³ = Wb

Bei Rohren errechnet sich der Wb mit

(Pi * ((D^4) -(d^4)) / 32*D) = Wb

macht rund

((D^4) -(d^4)) / (10*D) = Wb

Genauer wären das nicht 10 sondern 10.18591636

Sieht man nun den Außendurchmesser und den Innendurchmesser des Rohres in Abhängigkeit von der Wandstärke, so wäre "d" als mittlerer Durchmesser (grosser_D = mittlerer_d + Wandstärke(m)

und Innendurchmesser = mittlerer_Durchmesser - m

zu errechnen.

So lange man Wb und den Aussendurchmesser bzw. den Innendurchmesser hat, ist die Berechnung einfach.

Was aber, wenn man nur eine bestimmte Wandstärke nehmen darf?

Egal wie ich es drehe, komme ich immer auf eine kubische Gleichung. Leider wird der gonimetrische ebenso wie der kardanische Lösungsweg bei extremen Werten von Außendurchmesser und Wandstärke ungenau.

Vorher hatte ich mir ein c-Programm geschrieben, das die Werte bis zu 3 Stellen hinter dem Komma(= 1µm) mit einer Schleife(suchen was am besten passt also sukzessive Progression) findet. Leider

D = Aussendurchmesser

d = Innendurchmesser

m = Wandstärke des Rohres

A = mittlerer Durchmesser des Rohres

Wb = Biegewiderstandsmoment

Wenn man A als mittleren Durchmesser einsetzt so errechnet sich

Wb = {([A+m] ^ 4) -([A-m]^4) / (10 * (d + m)}

Nimmt man nun Rohre der Reihe DIN 2391 mit einer Wandstärke von 5mm so ergäbe sich ein Außendurchmesser von

D=76.8055

d=66.8055

Wb=19375

Nächster lieferbarer Wert 80mm. Wären dann etwa 9,25 Kilo pro Meter Rohrlänge.

Vorweg muss gesagt werden, das laut Gesetzgeber warmgewalzte Rohre (Wasserleitungsrohre)
nicht verwendet werden dürfen, Sie sind zu weich. Es sind also kaltgewalzte Rohre vorzuziehen.

Rohre gehen eigentlich nur bis E295(St50). St70 (E360 GC) ist nicht zu kriegen. Das nur nebenbei.

Ein riesiges Rohr.

Zu mehr reicht mein Qualifizierender Volksschulabschluss von 1980(Alter 56) leider nicht aus.

Gibt es noch einen Weg als durch ausprobieren die Werte ermitteln?

Möchte mein c-Programm etwas vereinfachen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung des Problems mittels Wandstärke:

Angesichts der Aufgabenstellung besteht das Ziel darin, den Außendurchmesser \(D\) eines Rohres zu berechnen, wenn die Wandstärke \(m\), das erforderliche Biegewiderstandsmoment \(Wb\) und Materialien mit bestimmten Eigenschaften (in diesem Fall ST 50-2 bzw. E295) gegeben sind. Die gegebene Gleichung, die das Biegewiderstandsmoment \(Wb\) mit dem Außen- (\(D\)) und Innendurchmesser (\(d\)) verbindet, lautet:

\( Wb = \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32 \cdot D} \)

Nach der Vereinfachung (und der Anpassung, die vorgeschlagen wurde, um die Rechnung zu erleichtern), verwenden wir:

\( Wb = \frac{(D^4 - d^4)}{10 \cdot D} \)

Jedoch, um mit der Wandstärke \(m\) zu arbeiten, bedenken wir, dass \(D = A + m\) und \(d = A - m\), wobei \(A\) der mittlere Durchmesser ist. Somit kann \(D^4 - d^4\) auch durch eine Funktion von \(A\) und \(m\) ausgedrückt werden. Es ergibt sich jedoch ein komplexeres Problem, für das, wie im Fragekontext erwähnt, eine kubische Gleichung gelöst werden muss, um \(A\), den mittleren Durchmesser, zu ermitteln. Die Transformation dieser Gleichung ist nicht direkt umgesetzt worden, aber lässt sich konzeptionell darstellen:

Setzen wir die Beziehungen \(D = A+m\) und \(d = A-m\) in die Gleichung für \(Wb\) ein, erhalten wir im Prinzip eine Funktion, die \(A\) oder \(D\) bestimmt. Die Berechnung kann kompliziert werden, da die Potenzen von \(D\) und \(d\) bzw. \(A\) und \(m\) berücksichtigt werden müssen.

Praktischer Ansatz ohne explizites Umformen:

Als Alternative zur analytischen Lösung des Problems, Sie können eine iterative Methode verwenden, wie Sie es bereits in Ihrem C-Programm angesetzt haben. Bei dieser Methode wird schrittweise der Wert von \(D\) (oder \(A\)) variiert, bis das berechnete Biegewiderstandsmoment \(Wb\) dem erforderlichen Wert so nahe wie möglich kommt. Dieser Ansatz ist oft praktikabler, insbesondere wenn die genaue analytische Lösung schwer zu finden oder zu implementieren ist.

Vorgehen:

1. Wählen Sie einen Startwert für den Außendurchmesser \(D\).
2. Berechnen Sie \(d = D - 2m\), da \(m\) die gegebene Wandstärke ist.
3. Berechnen Sie \(Wb\) mit der obigen Gleichung.
4. Vergleichen Sie das berechnete \(Wb\) mit dem benötigten Wert.
5. Adjustieren Sie \(D\) basierend auf dem Vergleich und wiederholen Sie die Schritte 2-4, bis die Differenz zwischen berechnetem und benötigtem \(Wb\) innerhalb eines akzeptablen Fehlertoleranzbereichs liegt.

Dieser iterativen Lösungsmethode können beispielsweise binäre Suche oder eine andere schrittweise Annäherungstechnik zugrunde liegen, um die Rechenzeit zu optimieren.

Ohne eine direkte Lösung der Originalgleichung kann diese iterative Methode eine praktikable Alternative bieten, um den gewünschten Außendurchmesser basierend auf der gegebenen Wandstärke und dem erforderlichen Biegewiderstandsmoment zu finden.