Allgemein gilt für eine senkrechte Bewegung nach oben
$$ x(t) = x_0 + v_0 t - g \frac{t^2}{2} $$ Also $$ v(t) = \frac{d}{dt}x(t) = v_0 - g t $$
Die Steigzeit \( t_1 \) berechnet sich aus der Bedingung \( v(t) = 0 \) und das ergibt
$$ t_1 = \frac{v_0}{g} $$ Daraus kann man die Steighöhe berechnen, indem man \( t_1 \) einsetzt. Also
$$ x(t_1) = x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g } $$
Diese Strecke muss der Wasserstarhl auch wieder zurück zum Boden zurücklegen. Das bedeutet es gilt $$ g \frac{t_2^2}{2} = x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g } $$ oder
$$ t_2 = \sqrt{ \left( x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g } \right)\frac{2}{g} } $$
Und da das Wasser \( T = 2 \) Sekunden braucht, bis es wieder auf die Erde kommt folgt
$$ T = t_1 + t_2 $$ Die Ausdrücke für \( t_1 \) und \( t_2 \) einsetzten und nach \( v_0 \) auflösen ergibt
$$ v_0 = \frac{ T^2 g - 2 x_0 } { 2 T } $$
\( T \) und \( x_0 \) sind bekannt, also kann man \( v_0 \) ausrechnen.
