In welcher Höhe wird er spätestens ausrutschen, wenn der Haftreibungskoeffizient seiner Schuhe μH= 0,8 beträgt?

Question

Aufgabe:

Ein Wanderer besteigt eine glatte Felswand, deren Höhe nach dem Gesetz h=ax^2 mit a= 0,01 m^-1 zunimmt. In welcher Höhe wird er spätestens ausrutschen, wenn der Haftreibungskoeffizient  seiner Schuhe μH= 0,8 beträgt?

Problem/Ansatz:

Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Hallo Lotte,

habe versucht, die Überlegungen von Ullim zu veranschaulichen.

an der Felswand (=Graph) rutscht der Wanderer spätestens dann, wenn er auf der Tangente an den Graph (schiefe Ebene) rutschen würde.

Das ist der Fall, wenn die Hangabtriebskraft F_H gleich (minimal größer) ist als die Haftreibungskraft F_R

Von der schiefen Ebene weißt du vielleicht, dass (mit dem Steigungswinkel α) gilt:

F_H =  F_G · sin(α)  und F_R = μ_H · F_G · cos(α)

     F_G · sin(α)  =   μ_H · FG · cos(α)      | : FG | cos(α)

             sin(α)/cos(α) = μ_H

                    tan(α) = μ_H  →   tan(α) = 0,8   [ →  α ≈ 38,66° ]

Andererseits ist die Tangentensteigung tan(α) gleich dem Wert der Ableitung am Berührpunkt:

h(x) = 0,001·x²  →  h'(x) = 0,02·x

0,02 · x = 0,8  →  x = 40   , h(40) = 16

Der Wanderer rutscht also spätestens in 16 m Höhe.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Grundsätzlich ist es so, dass man ab dem Winkel ausrutscht, ab dem zum erstenmal $$ F_H \ge F_R $$ gilt. Also ab dem Winkel, ab der Kraft die hangabwärts wirkt \( (F_H) \) identisch ist mit der entgegengesetzt wirkenden Reibungskraft \( (F_R) \).

Es gilt \( F_H = F_G \sin(\alpha) \) und \( F_R = \mu F_G \cos(\alpha) \). Also kann der Winkel \( \alpha \) aus der Bedingung \(  F_H = F_R \) bestimmt werden. Das führt auf \( \mu = \tan(\alpha) \)

Andererseits berechnet sich \( \tan(\alpha) \) aus der ersten Ableitung der Höhenformel \( h(x) = a x^2 \) nach \( x \). D.h. es muss gelten

$$ h'(x) = \tan(\alpha) $$ Das nach \( x \) auflösen und diesen Wert in die Höhenformel an der Stelle \( x \) einsetzten ergibt die Höhe, ab der man ausrutscht.