Moin, habe folgende Aufgabe:
Betrachten Sie die Bewegung im Zentralpotential \( U(r)=-k / r^{n} \) mit reellen Konstanten \( k \) und \( n \).
(a) Drücken Sie \( \dot{r}(t) \) und \( \ddot{r}(t) \) durch \( r(t) \) und die Erhaltungsgröben \( E \) und \( L^{2} \) aus, siehe Gl. (133) und (134) im Skript.
(b) Berechnen Sie für Kreisbahnen die Bahngeschwindigkeit \( v=|\vec{v}| \) als Funktion des Bahnradius' \( r \). sind Kreisbahnen für alle Werte von \( k \) und \( n \) möglich? Plotten Sie \( v \) als Funktion von \( r \) für das Kepler-Potential \( (k>0 \) und \( n=1) \)
Hinweis \( z u(b): \) Kreisbahnen sind durch \( \dot{r}=0 \) und \( \ddot{r}=0 \) charaktersisiert.
Habt ihr bestimmte Ansätze, wie man das ausdrückt und diese Bahngeschwindigkeit bestimmt?
Danke euch!
Skript:
Die zwei Erhaltungsgröfen \( E=E_{\mathrm{kin}}(t)+E_{\mathrm{pot}}(t) \) und \( L^{2}=|\vec{L}|^{2} \) nehmen also bei Bewegung in der \( x_{1}-x_{2}- \) Ebene in einem Zentralfeld die folgende Form an:
\( \begin{array}{c} E=\frac{m}{2}\left(\dot{r}(t)^{2}+r(t)^{2} \dot{\varphi}(t)^{2}\right)+U(r(t)) \\ L^{2}=m^{2} r(t)^{4} \dot{\varphi}(t)^{2} \end{array} \)
Wir werden sehen, dass diese beiden Erhaltungssätze ausreichen, um die Bewegungsgleichung zu integrieren.
