Hallo Simon,
Bei einem Behälter mit konstantem Radius a würde sich ja der Verlauf der freien Oberfläche durch
h(r) = ho+ (ω2*a2)/(2*g)
angeben lassen, ...
Im Prinzip ja - es heißt: $$h(r) = h_0 + \frac{\omega^2}{2g} r^2$$
wobei h0 z. B. aus der Forderung von gleichen Volumina (vor und nach der Rotation) bestimmt werden kann.
richtig! Und das Volumen \(V_P\) eines (abgeschnittenen) Paraboloiden ist $$V_P = \frac 12 \pi hR^2$$wobei \(R\) der Radius der Schnittfläche und \(h\) die Höhe vom Scheitelpunkt bis zur Schnittfläche ist (rechne das mal selber nach). Er nimmt also genau die Hälfte des Volumens des einhüllenden Zylinders ein.
Daraus folgt, dass in einem mit einer Flüssigkeit gefüllten zylindrischen Gefäß mit (Innen)Durchmesser \(R\) und Füllhöhe \(H\) immer $$\frac 12(h(R) + h_0) = H$$sein muss. Unabhängig von der Drehgeschwindigkeit \(\omega\). Daraus folgt für das \(h_0\)$$h_0 = 2H - h(R) = 2H - h_0 - \frac{\omega^2}{2g} R^2 \\ \implies h_0 = H - \frac{\omega^2}{4g} R^2$$
Anschaulich kann ich mir schon vorstellen, dass der Radius im unteren Behälter einen Einfluss auf h(r) hat
Nö - warum denn. Solange die Oberfläche des Paraboloiden nicht bis zu der Ecke bzw. dem Rand des unteren Behälters reicht, bleibt es bei dem parabelförmigen Querschnitt. Ich habe das mal im Plotlux eingegeben:
~plot~ (abs(x)>0.5)+(abs(x)>1.5)*9;0.2039x^2+1.771;[[-2|2|-1|4]];0.81549x^2+1.0826;1.1403x^2+0.717;{0.75*sqrt(2)|2} ~plot~
In dem Beispiel ist \(a=1\) und \(\omega\) wächst von \(\omega =2 \text{s}^{-1}\) (rot) über \(\omega =4 \text{s}^{-1}\) (grün) nach \(\omega =4,7 \text{s}^{-1}\) (pink).
Steigt \(\omega\) weiter an, werden sich zwei Paraboloide heraus bilden. Der untere reicht immer bis zum Rand des unteren Gefäßabschnitts und der obere entweder zum oberen Rand des Gefäßes (bei \(3a\)?) oder eben so weit hoch, bis das gesamte restliche Volumen der Flüssigkeit untergebracht ist.
Steigt \(\omega\) noch weiter an, wird der untere Paraboloid durch den Gefäßboden 'abgeschnitten'.
In jedem Fall bleibt der Faktor \(\omega^2/(2g)\) für jeden der beiden Paraboloiden immer erhalten.
Gefragt ist auch noch nach dem Ort des maximalen Drucks. Der wird ja dann aufgrund der Zentrifugalkraft am Außenradius sein, entweder im oberen Teil des Behälters mit Radius 3a oder im unteren mit Radius a (aufgrund des höheren geodätischen Drucks). Oder?
Ja genau! Weißt Du wie man ihn berechnet?
