Potenzial und Bewegungsgleichung eines Teilchens im Kraftfeld

Question

Ein Teilchen der Masse \( m \) bewege sich im Kraftfeld \( \vec{F}(\vec{r})=-D \vec{r}, D>0 \) des dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators. Wie lautet das zu dieser konservativen Kraft gehörige Potential \( U(\vec{r}) ? \) Lösen Sie in kartesischen Koordinaten \( x, y, z \) die Newton'schen Bewegungsgleichungen zu den Anfangsbedingungen \( \vec{r}(0)=\vec{r}_{0} \) und \( \vec{r}(0)=\vec{v}_{0} \) Zeigen Sie mithilfe der gefundenen Lösung explizit, dass die Energie \( E \) und der Drehimpuls \( \vec{L}=m \vec{r} \times \vec{r} \) Erhaltungsgrößen sind. Wodurch ist die Energie \( E \) nach unten beschränkt? Aufgrund der Drehimpulserhaltung können Sie die \( z \) -Achse des Koordinatensystems in Richtung von \( \vec{L} \) legen. Zeigen Sie, dass die verbleibende Bewegung in der \( x y \) -Ebene immer zu geschlossenen Bahnen führt und geben Sie die Periode \( T \) für einen Umlauf an. Von welcher Form ist die Bahnkurve? Hinweis: Sie können o.B.d.A. \( \vec{r}_{0}=x_{0} \vec{e}_{x} \) annehmen.

Könnte mir jemand die Ansätze hierfür sagen? Bzw die Grenzen bei der Integration vom Potential

Answer 1

Hallo

 1. Das Potential sieht man direkt wegen U_x=-Dx, U_y=-Dy, U_z=-Dz da musst du nicht integrieren, setze U(0)=0 dann kannst du natürlich auch bis r integrieren .

die Dgl ist dieselbe, wie du sie für eine Feder kennst, nur eben in 3d also: m*(x,y,z)^T''=-D(x,y,z)^T

indem du mit x' usw die einzelnen Dgl multiplizierst und 1/2*(x''x')=(x'^2)' und 1/2(xx')=(x^2)' benutzt zeigst du den Energiesatz den Impulssatz kannst du dann sicher auch.

ein bissel Arbeit überlass ich dir.

Gruß lul

Comments

Dankeschön, ich brauchte nur etwas Ansatzhilfe