Energie eines Massepunktes

Question

Aufgabe:

Ein Massenpunkt $m$ gleite reibungsfrei auf einer zykloidenförmig gebogenen Schiene $$x(\lambda)=R(\lambda+\sin \lambda), \quad z(\lambda)=R(1-\cos \lambda), \quad-\pi<\lambda<\pi$$ in der $x z$ -Ebene. Die Schwerkraft $\vec{F}=-m g \vec{e}_{z}$ wirke nach unten. Berechnen Sie die Gesamtenergie $E$ des Massenpunkts als Funktion von $\lambda$ und $\dot{\lambda}$.

Zeigen Sie, dass nach der Substitution $u=4 R \sin (\lambda / 2)$ die Energie $E$ dieselbe Form wie bei einem harmonischen Oszillator hat. Geben Sie die entsprechende Kreisfrequenz $\omega_{0}$ und die Schwingungsdauer $T$ an. Zeigen Sie, dass ein Teilchen, das von irgendeinem Punkt auf der Zykloide aus der Ruhe losgelassen wird, stets nach der gleichen Laufzeit bei $x=z=0$ ankommt. Wie groß ist diese Laufzeit?

Comments

 Steigung der Kurve - es ist eine Art Halfpipe- berechnen, daraus Hangabtriebsbeschleunigung, und damit kinetische und Lageenergie,

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Energie eines Massepunktes

Um die Gesamtenergie $E$ des Massenpunkts als Funktion von $\lambda$ und $\dot{\lambda}$ zu berechnen, müssen wir die kinetische Energie $T$ und die potenzielle Energie $V$ des Massepunkts berücksichtigen.

Die potenzielle Energie $V$ eines Massenpunkts in einem Gravitationsfeld ist gegeben durch:
$V = mgh$
wobei $h$ die Höhe über einer Referenzhöhe (in diesem Fall $z$) ist:
$V = mgz = mgR(1-\cos \lambda)$

Die kinetische Energie $T$ eines bewegten Massepunkts ist gegeben durch:
$T = \frac{1}{2}mv^2$
wobei $v$ die Geschwindigkeit des Massepunkts ist. Die Geschwindigkeit kann durch Differenzierung der Ortsfunktionen nach der Zeit gefunden werden:
$x(\lambda) = R(\lambda + \sin \lambda), \quad z(\lambda) = R(1 - \cos \lambda)$

Dann ist:
$\dot{x}(\lambda) = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt} = R(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}, \quad \dot{z}(\lambda) = \frac{dz}{dt} = R\sin \lambda \dot{\lambda}$

Daraus folgt für die Geschwindigkeit $v$:
$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{z}^2 = R^2(1 + \cos \lambda)^2\dot{\lambda}^2 + R^2\sin^2 \lambda \dot{\lambda}^2$

$v^2 = R^2\left((1 + \cos \lambda)^2 + \sin^2 \lambda\right)\dot{\lambda}^2$

Da $(1 + \cos \lambda)^2 + \sin^2 \lambda = 1 + 2\cos \lambda + \cos^2 \lambda + \sin^2 \lambda = 2 + 2\cos \lambda$,

haben wir:
$v^2 = R^2(2 + 2\cos \lambda)\dot{\lambda}^2 = 2R^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2$

Die kinetische Energie $T$ ist daher:
$T = \frac{1}{2}m \cdot 2R^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2$
$T = mR^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2$

Die Gesamtenergie $E$ des Massenpunkts ist die Summe seiner kinetischen und potenziellen Energie:
$E = T + V = mR^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2 + mgR(1 - \cos \lambda)$

Substitution und Harmonischer Oszillator

Nach der Substitution $u = 4R \sin(\lambda / 2)$, gilt:

$\sin(\lambda / 2) = \frac{u}{4R}$

Da $\cos \lambda = 1 - 2\sin^2(\lambda / 2)$, haben wir:

$\cos \lambda = 1 - 2\left(\frac{u}{4R}\right)^2$
$\cos \lambda = 1 - \frac{u^2}{8R^2}$

Setzen wir dies in die Energiegleichung ein, folgt:

$E = mR^2\left(1 + 1 - \frac{u^2}{8R^2}\right)\dot{\lambda}^2 + mgR(1 - 1 + \frac{u^2}{8R^2})$
$E = mR^2\left(2 - \frac{u^2}{8R^2}\right)\dot{\lambda}^2 + \frac{mgu^2}{8R}$

Die Form dieser Gleichung ähnelt der Energie eines harmonischen Oszillators:

$E = \frac{1}{2}m\omega_0^2u^2 + \frac{1}{2}m\dot{u}^2$

Wenn wir den Koeffizienten von $\frac{u^2}{8R}$ im Ausdruck für $E$ mit $\frac{1}{2}m\omega_0^2$ vergleichen, erhalten wir:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{R}}$

Die Schwingungsdauer $T$ eines harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

Die Laufzeit $T$ für ein Teilchen, das von irgendeinem Punkt auf der Zykloide aus der Ruhe losgelassen wird, bis es bei $x=z=0$ ankommt, entspricht dieser Schwingungsdauer und ist unabhängig von der Anfangsposition des Teilchens, was bedeutet, dass jedes Teilchen, egal von welcher Startposition auf der Zykloide, stets nach der gleichen Zeit $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ bei $x=z=0$ ankommt.